Prueba $\frac{ab}{1+c^2}+\frac{bc}{1+a^2}+\frac{ca}{1+b^2}\le\frac{3}{4}$ si $a^2+b^2+c^2=1$

Question

<blockquote> <p>% De FF $a,b,c$son números reales positivos que $a^2+b^2+c^2=1$, prueba: $$\frac{ab}{1+c^2}+\frac{bc}{1+a^2}+\frac{ca}{1+b^2}\le\frac{3}{4}$ información adicional de $: yo estoy en busca de soluciones y sugerencia que usando Cauchy-Schwarz y AM-GM porque tengo fondo en ellos.</p> </blockquote> <p><em>Cosas que he hecho:</em> He intentado cambiar lado izquierdo algo más fácil de trabajar pero no tuvo éxito. Por ejemplo$$ \frac{ab}{1+c^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2+b^2+2ab}{1+c^2}-\frac{a^2+b^2}{1+c^2}\right)</p> <p>no era útil. Se agradece cualquier sugerencia para comenzar paso.</p>

Answer 1

Escribir $x=a^2$, $y=b^2$, y $z=c^2$. A continuación, $x+y+z=1$. Una primera consecuencia de esto es $$(1+z)\geq 2\sqrt{xy+z}.\la etiqueta{*}$$ Esto es cierto porque $$(1+z)^2-(2\sqrt{xy+z})^2=(1+z)^2-4z-4xy\\ =(1-z)^2-4xy=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2\geq 0.$$ De forma análoga a (*), también tenemos $$(1+y)\geq2\sqrt{xz+y},\quad (1+x)\geq 2\sqrt{yz+x}.$$ Esto implica $$\sum_{\text{cyc}}\frac{ab}{1+c^2}=\sum_{\text{cyc}}\frac{\sqrt{xy}}{1+z}\leq\frac{1}{2}\sum_{\text{cyc}}\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy+z}}.$$ Así que la afirmación de la siguiente manera, si podemos mostrar a $\sum_{\text{cyc}}\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy+z}}\leq\frac{3}{2}$. Pero que ya se ha hecho aquí, así que hemos terminado!

p.s. La integridad, la voy a producir el argumento desde el enlace de aquí: en primer lugar, observar $$xy+z=xy+(1-x-y)=(1-x)(1-y)=(y+z)(x+z).$$ A continuación, se sigue de la AM-GM de la desigualdad que $$\sum_{\text{cyc}}\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy+z}}=\sum_{\text{cyc}}\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{(x+z)(y+z)}}\leq\sum_{\text{cyc}}\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)=\frac{3}{2}.$$

Answer 2

$\displaystyle \frac{ab}{1+c^2}+\frac{bc}{1+a^2}+\frac{ca}{1+b^2}\le\frac{3}{4}$ es equivalente a

EDIT: No siguen este método. ¡Es un error! Izquierda como advertencia.

$\displaystyle \frac{a^2+b^2}{1+c^2}+\frac{b^2+c^2}{1+a^2}+\frac{c^2+a^2}{1+b^2}\le\frac{3}{2}$ $ab\leq\frac{1}{2}(a^2+b^2)$.

Esto es equivalente a:

$\displaystyle \frac{1-c^2}{1+c^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2}+\frac{1-a^2}{1+a^2} \leq \frac{3}{2}$, donde $a^2+b^2+c^2=1$.

Que $x=a^2,y=b^2,z=c^2$, para la simplicidad.

Entonces lo anterior es equivalente a

$\displaystyle \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \leq \frac{9}{4}$, whre $x+y+z=1$.