Helicities en la aniquilación electrón-positrón.

Question

Considerar la masa límite de un proceso en el que un par electrón-positrón aniquila en un fotón virtual - el estado final no importa. Si el electrón es sin masa (o si la energía es lo suficientemente alto), helicidad y quiralidad a ser el mismo, y se conservan. Mi problema es que estoy obteniendo resultados contradictorios: la matemática dice que la amplitud es distinto de cero sólo cuando el electrón y el positrón tiene el mismo helicidad, mientras que cada libro sobre el tema (física y el sentido común) afirma lo contrario.

La amplitud es proporcional a $\bar{v}\gamma^\mu u$ donde $u$ es el electrón spinor y $v$ el positrón. Vamos a ir al centro de masa del marco, y tomar el electrón impulso a $p^\mu = (p, 0, 0, p)$ y el positrón se $p'^\mu = (p, 0, 0, -p)$. El uso de la base de Dirac, tengo el siguiente definitiva helicidad spinors (siguiendo el artículo de la Wikipedia en spinors):

$$u_R = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ \ \ u_L = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$$v_R = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\ \ \ v_L = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Supongamos que el electrón tiene helicidad positiva y el positrón tiene helicidad negativa; en otras palabras, ambos tienen spin a lo largo del eje z. Libros como el de Thomson Moderna de la Física de Partículas o Halzen y Martin, los Quarks y los Leptones decir que la aniquilación debe tener lugar en este caso, y tiene sentido: el estado inicial tiene un total de spin 1, justo lo que necesita para crear el virtual fotón.

El problema es que no se puede calcular el $\bar{v}_L \gamma^\mu u_R$ explícitamente, y me da cero. Incluso puede mostrar la forma abstracta: la Definición de $P_R = \frac12 (1+\gamma^5)$$P_L = \frac12 (1-\gamma^5)$, y observando que $u_R = P_R u_R$ y así sucesivamente, lo que puede ser mostrado muy general que $\bar{v} \gamma^\mu u$ desaparece, a menos que ambas spinors tienen el mismo helicidad.

¿Qué está pasando aquí? Mi mejor conjetura es que de alguna manera la helicidad de las asignaciones para las antipartículas se invierten, pero no veo cómo eso puede ser: yo sólo seguí el artículo de la Wikipedia y todos los libros que pude encontrar, por no hablar de que he comprobado que mi spinors satisfacer la ecuación de Dirac con el buen impulso, y que las vueltas a la derecha y que $P_L v_R = 0$$P_R v_L = 0$.

Answer 1

El problema es cuando se considera $$v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$ como la mano derecha (quiralidad o helicidad). En realidad, se asocia a un zurdo componente. Considere la posibilidad de la helicidad del operador: $$\hat{h} = \frac{1}{|\vec{p}|} \vec{\Sigma}.\hat{\vec{p}}$$ con $$\vec{\Sigma} = \begin{pmatrix} \vec{\sigma} & 0 \\ 0 & \vec{\sigma} \\ \end{pmatrix}$$ ($\vec{\sigma}$ siendo las matrices de Pauli) y: $$ \hat{\vec{p}} = -i \vec{\nabla}$$ El $v$-spinors son asociados a la propagación de plazo $e^{i(Et-\vec{p}.\vec{x})}$ (el signo de la exponencial es opuesto al caso de $u$-spinor). Por lo tanto, la aplicación de $\hat{h}$ para todo el periodo de vigencia $\psi = v e^{i(Et-\vec{p}.\vec{x})}$, da: $$ \hat{h} \psi = \frac{1}{|\vec{p}|}\vec{\Sigma} v . (-\vec{p}) e^{i(Et-\vec{p}.\vec{x})} $$ Puesto que usted eligió un impulso a lo largo del eje z: $\vec{p} = -|\vec{p}| \vec{u}_z$, tenemos: $$ \hat{h} \psi = \frac{1}{|\vec{p}|}\Sigma_z v |\vec{p}| e^{i(Et-\vec{p}.\vec{x})} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} e^{i(Et-\vec{p}.\vec{x})} = -\psi $$ Por lo tanto $\psi$ es zurdo! Su spinor $v$ está asociado a un zurdo antipartícula.

Answer 2

No es cierto que "$\overline{v}_L\gamma^\mu u_R$ es cero". Mientras que$u_R \equiv P_R u$, si lo comprueba cuidadosamente, encontrará que$\overline{v}_L \equiv \overline{v}P_L$. Y si "lleva$P_L$ al otro lado de$\gamma^\mu$" utilizando las relaciones de conmutación habituales, obtiene$P_R$. Y por supuesto, $P_R^2 = P_R$.

El problema puede haber sido causado originalmente al olvidar que$\overline{v}_L$ tiene el signo opuesto para$\gamma^5$ en los operadores de proyección que$\overline{u}_L$.