Que $a \leq x_{n} \leq b$ para todos n en N. Si $x_{n} \rightarrow x$. Luego demostrar que $a \leq x \leq b$

Question

Que $a \leq x{n} \leq b$ para todos n en N. Si $x{n} \rightarrow x$. Luego demostrar que $a \leq x \leq b$

Intentar - si asumo que $x$el % es mayor que $a$ y $b$. A continuación, desde la serie es convergente, por lo que después de cierta etapa sus elementos se encuentran entre $(x-\epsilon , x + \epsilon )$. Si tomo epsilon tales que $\epsilon = (b + x) /2$. Luego secuencia se encuentra derecho de $b$, que es contradicción. Mismo argumento pues si tomo límite a la izquierda de una. ¿Esto es fine? Gracias

Answer 1

Estoy mostrando un solo lado.

Si $x<a luego="" tomar="">0$</a>

Ahora desde $x_n \to x \exists m\in \mathbb N$ tal que $x-\epsilon<x_n m="" n="">Luego $x_n<x a="" alguna="" contradicci="" de="" decir="" es="" n=""></x>

</x_n>

Answer 2

Estás en el camino correcto. Como se solicita en el comentario, el formalismo es la siguiente:

Si toma $x>b$, $\epsilon=x-b$. Entonces si $n>N$ se deduce que

$$ |x_{n}-x|

Sabemos que esto debe significar que $x_n>b$ (que es una contradicción) lo vamos a volver a escribir los términos para hacer que esto parezca muy explícitamente.

$$-(x-b)

Agregar $x$ a las tres partes de la desigualdad nos da:

$$ b

pero por supuesto, sólo necesitamos que $b<x a="" contradicci="" la=""></x>

Answer 3

Dado $\varepsilon>0$, existe un entero positivo $N$ tal que $$ | x-x_n | \le \varepsilon \quad \forall n\ge N. $$ sigue que x_n $$-x_n \varepsilon \le x\le + \varepsilon \quad \forall n\ge N $$ y por lo tanto $$ un-\varepsilon \le x\le b + \varepsilon. $$ % De dejar $\varepsilon$tienden a $0$, conseguimos $a\le x\le b$.