Hoy nuestra profesora nos dijo que si al azar generado diez dimensiones 100 $0$$1$vectores, es muy poco probable que son dependientes en $\mathbb{R} ^ {100}$. Para ser específico, cada entrada tiene igual oportunidad de ser $0$ o $1$.
He pensado sobre esto, pero no consigo un buen límite superior para la probabilidad que son dependientes. ¿Alguien me puede ayudar?
Supongo estocástico de la independencia.
El uso de determinantes, se ve fácilmente que si los vectores son dependientes sobre $\mathbb{R}$, entonces ellos (de hecho, sus proyecciones) también son dependientes de más de $\mathbb{F_2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Pero la probabilidad de que 10 independiente elegido al azar (con uniforme de probabilidad) vectores de $(\mathbb{F}_2)^{100}$ son dependientes sobre $\mathbb{F_2}$ es $$ 1 - \frac{(2^{100}-1)(2^{100} - 2)\veces(2^{100}-2^9)}{(2^{100})^{10}}= 1 - \prod_{i=91}^{100} (1-2^{-i}) \leq 1 - (1-2^{-91})^{10} \leq 10\times 2^{-91} $$
(donde hemos utilizado la desigualdad de Bernoulli $(1-p)^n \geq 1 - np$).
Tenga en cuenta que esta enlazado es muy crudo.
El pasaje de $\mathbb{R}$ $\mathbb{F}_2$es un caso especial de la siguiente lema:
Deje $A$ $n\times m$ matriz con coeficientes en $\mathbb{Z}$, e $p$ ser un número primo. Nota: $\overline{A}$ $n\times m$ matriz con coeficientes en $\mathbb{F}_p$$\overline{A}_{i,j} = A_{i,j} \bmod p$. Tenemos, $\mathrm{rank}_\mathbb{R}\,A \geq \mathrm{rank}_{\mathbb{F}_p}\,\overline{A}$.
Prueba. Recuerde que el rango de una matriz es el tamaño de la mayor fuga de menor importancia. Además, observe que para cada matriz cuadrada $B$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$, $\det_\mathbb{R} B \in \mathbb{Z}$ $$ \det_{\mathbb{F_p}} (\overline{B}) = \det_{\mathbb{R}} (B) \bmod p$$ desde el determinante es un polinomio de la función de los coeficientes.
Este fue un pensamiento que es posiblemente mal. Por favor, lea los Comentarios.
Este es un pensamiento. Vamos, nos echan todo esto de los vectores de la matriz $X$ cuyo tamaño es $10 \times 100$. Su pregunta es equivalente a preguntar si $X$ es un completo rango de la matriz. Cuándo es el rango completo? Una forma es buscar en sus valores singulares, si el menor valor singular es distinto de cero, entonces es de rango completo. ¿Cuál es la probabilidad de que esto? Por lo tanto, usted está buscando en la distribución de la menor valor singular de un determinado al azar binario matriz rectangular. Es una variable aleatoria continua. Para ver esto, observe que el menor valor singular de a $X$ es la raíz cuadrada de la menor autovalor de a $X^TX$. Autovalores son una función continua de las entradas de la matriz.
Por lo que la probabilidad de que tome un discreto punto de $0$ es cero. Por lo que la matriz debe ser de rango completo con probabilidad uno.
Si usted está interesado en aprender más acerca de la distribución de menor valor singular de una matriz, esta entrada de blog por terence tao sería un buen punto de partida.
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