Mostrar que existe un valor tal que cada suma parcial es igual a su límite en módulo

Question

Para cada una de las $n \in \mathbb{N}_0$, y para todos los $z \in \mathbb{C}$, definir $$p_n(z) := \sum^{n}_{k=0} {z^k \over {k!}}.$$

Demostrar que para todos los $r > 0$, y para todos los $n \in \mathbb{N}_0$ existe $z \in \mathbb{C}$ $|z|=r$ tal que $|p_n(z)| = |e^z|$.

Hay una primera parte a este problema que le pide a uno para demostrar que para todos los $r > 0$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n > N$, $p_n$ no tiene ceros en $B(0,r)$. De esta manera se sigue bastante de inmediato de $e^z$ es el límite de $p_n$ y del Teorema de Hurwitz. Hasta ahora, no he encontrado esta útil.

Yo también soy curioso en cuanto a lo que la asignación de $z(n;r)$ parece, y si es una función. Sé $z(0;r) = ir$ hasta el momento, y estos también parecen ser las únicas soluciones para $n=0$.

Edit: etiqueta para las funciones de Bessel añadido ya que una de las respuestas hace un interesante uso de ellos para obtener una aproximación técnica a este problema.

Answer 1

Podemos aplicar el principio del módulo máximo a la función $f_n(z) = p_n(z)\cdot e^{-z}$. Tenemos $f_n(0) = 1$ y $f_n$ no es constante, por lo tanto hay un $z_r$ $\lvert z_r\rvert = r$ y $\lvert f_n(z_r)\rvert > 1$. Además, contamos con $0

$f_n$ logra valores con módulo menor que $1$, así como valores con módulo mayor que $1$ en el % de círculo $\lvert z\rvert = r$, por lo tanto por continuidad también valores con módulo $1$. Pero estos valores son precisamente los valores de $\lvert p_n(z)\rvert = \lvert e^z\rvert$.

Answer 2

Como se indicó en los comentarios, tenemos que $\|p_n(r)\|=p_n(r)<e^r=\|e^r\|$, por lo tanto sólo tenemos que probar que: $$\exists\, z=r\,e^{i\theta}:\quad \|p_n(z)\|^2 > \|e^z\|^2 = e^{2r\cos\theta}\tag{1}$$ a continuación, aplicar una continuidad en el argumento. Si podemos demostrar que: $$\int_{0}^{\pi}\|p_n(r e^{i\theta})\|^2\sin\theta\,d\theta > \int_{0}^{\pi}e^{2r\cos\theta}\sin\theta\,d\theta=\frac{\sinh(2r)}{r}\tag{2}$$ a continuación, $(1)$ simplemente de la siguiente manera. Observe que: $$\|p_n(r e^{i\theta})\|^2 = p_n(re^{i\theta})\cdot p_n(r e^{-i\theta})=\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=0}^{n}\frac{r^{j+k}}{j!\,k!}e^{(j-k)i\theta},\tag{3}$$ $$\int_{0}^{\pi}\cos(m\theta)\sin\theta\,d\theta = \left\{\begin{array}{rcl}0 &\text{if}& m\equiv 1\!\!\!\pmod{2}\\ -\frac{2}{m^2-1}&\text{if}&m\equiv 0\!\!\!\pmod{2}\end{array}\right.\tag{4}$$ así: $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{\pi}\|p_n(r e^{i\theta})\|^2\sin\theta\,d\theta&=&2\sum_{j=0}^n\frac{r^{2j}}{j!^2}-\sum_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{4}{4k^2-1}\sum_{j=0}^{n-2k}\frac{r^{2j+2k}}{j!(j+2k)!}\\&>&2\,I_0(2r)-\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{4\,I_{2k}(2r)}{4k^2-1}\end{eqnarray*}\tag{5}$$ donde $I_n(z)$ es la función modificada de Bessel de primera especie.

Mediante el uso de la representación integral de tales funciones, de $(5)$ tenemos: $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{\pi}\|p_n(r e^{i\theta})\|^2\sin\theta\,d\theta&>&2\,I_0(2r)-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{2r\cos \theta}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{4\cos(2k\theta)}{4k^2-1}\,d\theta\\&=&2\,I_0(2r)-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}e^{2r\cos \theta}\left(2-\pi\sin\theta\right)d\theta\\&=&\int_{0}^{\pi}e^{2r\cos\theta}\sin\theta\,d\theta=\frac{\sinh(2r)}{r},\end{eqnarray*}$$ como quería.

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Tal vez es posible demostrar $(1)$ por la elección de un peso diferente la función de $\psi:(0,\pi)\to\mathbb{R}^+$ y demostrando la weigthed $L^2((0,\pi))$ la desigualdad:

$$\int_{0}^{\pi}\|p_n(r e^{i\theta})\|^2\psi(\theta)\,d\theta>\int_{0}^{\pi}e^{2r\cos\theta}\psi(\theta)\,d\theta\tag{2*}$$

$\psi(\theta)=\sin(\theta)$ sólo era la elección más natural para mí, ya que numéricamente comprobado que $(2*)$ no se sostiene con $\psi(\theta)=1$.

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Este problema también se plantea otra pregunta en la Meta.