Cómo encontrar asintóticamente (o algún límite razonable, al menos $ o(n) $ ) número de números, representable como suma de cuadrados de 2 números? (en el caso de los límites me interesan ambos: límites inferiores y superiores)
Sé cómo encontrar explícitamente el número de formas de representar un número dado de tal manera. (se puede encontrar aquí )
Gracias.
P.D. Para un límite inferior se puede utilizar este problema, le dará algo de $ \Omega (n^{\frac{3}{4}}) $ .
Dejemos que $S_2(x)$ sea el número de enteros $\leq x$ que son una suma de dos cuadrados. Landau, en 1906, demostró que $$S_2(x) \sim K \frac{x}{\sqrt{\log x}}$$ donde $$K = \frac{1}{\sqrt{2}} \prod_{p \equiv 3 \mod 4} \frac{1}{\sqrt{1-p^{-2}}}$$ No puedo encontrar una prueba en línea, pero hay referencias a la declaración en muchos lugares, como aquí .
Contabilización de las páginas 260-263 de LeVeque . El pelo evidente de la página 262 no forma parte del libro propiamente dicho; evidentemente se cayó de mi propia cabeza al escáner, y es uno que no podía permitirme perder.
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Un número puede escribirse como suma de dos cuadrados si y sólo si no es divisible un número impar de veces por ningún primo que sea $3$ modulo $4$ .
En particular, todo primo que sea $1$ modulo $4$ es una suma de dos cuadrados. Por el teorema de los números primos, hay $\Theta(\frac{n}{\log n})$ primos en el intervalo $[0, n]$ . Por el teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas, asintóticamente la mitad de éstas son $1$ modulo $4$ .
Por lo tanto, el número de números menores que $n$ que se puede escribir como una suma de dos cuadrados es $\Omega(\frac{n}{\log n})$
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