Funciones separting puntos en los espacios de Hausdorff

Question

Un colega en el álgebra me preguntó, y yo no podía contestar. En la página de Wikipedia para "epimorphism" se afirma que en la categoría de espacios de Hausdorff y continua de los mapas, una función es epi si y sólo si tiene densa gama. El "si" caso es fácil, pero yo no podía justificar el "sólo si".

Esto se reduce a: sea Y un espacio de Hausdorff, y vamos a X en Y ser un subconjunto cerrado no es igual a Y, y no vacío. Se puede encontrar un espacio de Hausdorff Z y las funciones f,g:Y->Z tales que f y g coinciden en X, pero no son iguales. Yo creo, por el uso de un cociente argumento, se puede suponer que X es solo un punto.

Answer 1

Deje $Y$ ser un espacio de Hausdorff, y deje $X\subset Y$ ser un subespacio cerrado. Considerar discontinuo de la unión de dos copias de $Y$, y deje $Z$ ser el coequalizer de dos incrustaciones de $X$ en (que es, le pegue dos copias de $Y$ a lo largo de $X$). Claramente, los dos naturales de los mapas de $\iota_{1,2}:Y\to Z$ sólo coinciden en $X$. Es fácil ver que $Z$ es de Hausdorff.

De hecho, tomar $z_1,z_2\in Z$, $z_1\ne z_2$. El mapa de $p:Z\to Y$ es continuo, de modo que si $p(z_1)\ne p(z_2)$, podemos tomar preimages de abrir barrios de $p(z_1)$ $p(z_2)$ para separar los $z_1$$z_2$. Queda por tratar el caso $z_{1,2}=\iota_{1,2}(y)$$y\in Y-X$. Pero los barrios $\iota_{1,2}(Y-X)$ trabajo.

Answer 2

Esto es realmente un comentario en t3suji la respuesta, pero es demasiado largo para un comentario como tal.

t3suji la respuesta es la canónico en el siguiente sentido preciso. Deje $e: X \to Y$ ser una de morfismos en cualquier categoría. Es un elemental ejercicio para demostrar que las siguientes condiciones en $e$ son equivalentes:

1. $e$ es un epimorphism

2. la plaza $$ \begin{array}{ccc} X &\stackrel{e}{\to} &Y \\ e\downarrow & &\downarrow 1_Y \\ Y &\stackrel{1_Y}{\to} &Y \end{array} $$ es un pushout

3. para algunos de morfismos $f: Y \to Z$, la plaza $$ \begin{array}{ccc} X &\stackrel{e}{\to} &Y \\ e\downarrow & &\downarrow f \\ Y &\stackrel{f}{\to} &Z \end{array} $$ es un pushout.

Sólo voy a utilizar la equivalencia 1 $\iff$ 3 aquí. Las otras implicaciones son sólo de la escena.

Supongamos que queremos demostrar que un morfismos $e$ es no epi. Suponiendo que no hay suficiente pushouts alrededor, podemos argumentar de la siguiente manera. Forma el pushout plaza $$ \begin{array}{ccc} X &\stackrel{e}{\to} &Y \\ e\downarrow & &\downarrow f \\ Y &\stackrel{g}{\to} &Z. \end{array} $$ Si $f \neq g$, entonces la implicación 1 $\Rightarrow$ 3 nos dice que el $e$ no es epi. Por otra parte, esta estrategia está obligado a trabajar, en el sentido de que si $f = g$, entonces la implicación del 3 $\Rightarrow$ 1 nos dice que $e$ es epi, después de todo.

Solo queda ver que esto es de hecho lo t3suji hizo. En su situación, $e$ fue la inclusión $X \to Y$. Él/ella entonces tomó el coequalizer de los dos obvio mapas de $X \to Y + Y$ (donde $+$ significa subproducto, es decir, distinto de la unión). En la escuela primaria y totalmente razones generales, esto es lo mismo que tomar el pushout que acabamos de mencionar. Los morfismos que t3suji llama$\iota_1$$\iota_2$, llamé a $f$$g$. Por último, aunque t3suji el pushout está en la categoría de todos los espacios topológicos, él/ella entonces se comprueba que el espacio de $Z$ es de hecho Hausdorff, del que se desprende que también es un pushout en espacios de Hausdorff.

Así que ya sabes, en principio, de cómo responder a cualquier pregunta de la forma de "probar que tal-y-tal de morfismos no es epi".