¿Es cada difeomorfismo un elemento de un grupo de parámetros de difeimorfos?

Question

Entiendo que un campo de vector suave en una variedad$M$ genera una acción de "flujo" / grupo de parámetros, digamos$\sigma(t,s): \mathbb{R} \times M \rightarrow M$ y$\sigma_t: M \rightarrow M$ da un grupo de parámetros de difeomorfismos. Mi pregunta es, ¿todo difeomorfismo tiene que ser un elemento de un grupo así? Mi conjetura ingenua es no, pero estoy confundido porque creo que un conjunto de difeomorfismos también forman un grupo "a". Le agradecería si pudiera dar un ejemplo de semejante difeomorfismo.

Answer 1

No. Diffeomorphisms formar un grupo topológico $\text{Diff}(M)$, que en algunos aspectos se comporta como un infinito-dimensional Mentira grupo, pero este grupo topológico no está conectado en general: tiene un grupo de $\pi_0(\text{Diff}(M))$ de los componentes conectados, la clase de asignación de grupo de $M$, lo cual es en general muy interesante. La única diffeomorphisms que puede ser parte de uno de los grupos de parámetros son aquellos en los que la identidad de los componentes.

Por ejemplo, tome $M = S^2$. Hay un diffeomorphism $f : S^2 \to S^2$ dado por tomar la antípoda, y porque actúa por $-1$ en la parte superior de homología $H_2(S^2)$, no puede estar en la identidad de los componentes de $\text{Diff}(S^2)$.

Answer 2

Complementando la respuesta de @QiaochuYuan, existen diffeomorphisms $f : D^2 \to D^2$ que están en la identidad de los componentes de $\pi_0(\text{Diff}(M))$ pero que no están incluidas en ningún parámetro 1-el grupo de differomorphisms.

Para un ejemplo de una $f$, tomar tres puntos de $p,q,r \in \text{int}(D^2)$, y tomar cualquier diffeomorphism $f$ preservar $\{p,q,r\}$, de modo que la restricción a $D^2 - \{p,q,r,\partial D^2\}$ ha pseudo-Anosov isotopía de la clase, de la preservación de una geodésica de laminación $\Lambda \subset D^2 - \{p,q,r,\partial D^2\}$ con respecto a una completa área finita hiperbólico estructura en $D^2 - \{p,q,r,\partial D^2\}$. Uno puede construir $f$, de modo que $\Lambda$ es un conjunto mínimo en el que $f$ actos con hiperbólica dinámica, incluyendo densa de las órbitas, y por lo que la restricción de $f$ $D^2 - \Lambda$tiene vagando por la dinámica. De ello se sigue que cualquier cosa que conmutan con a $f$ preserva $\Lambda$ como un conjunto, y conserva la descomposición de la $\Lambda$ en su 1-dimensiones de las hojas. De esto se sigue que el $f$ no es parte de un parámetro 1-subgrupo.

Para una mayor comprensión conceptual de este ejemplo, la superficie de cada diffeomorphism que se encuentra en un parámetro 1-subgrupo tiene cero de la entropía topológica. Y, cada diffeomorphism que, en el complemento de algunas conjunto finito, es isotópico a un pseudo-Anosov diffeomorphism, ha positiva de la entropía topológica.