Prueba de un hecho evidente sobre polígono convexo.

Question

Considere la posibilidad de una cerrada simple polígono en el plano. Es intuitivamente obvio que el polígono es convexo si y sólo si todos los ángulos interiores miden menos de o igual a $\pi$ radianes. Nunca he visto a una rigurosa prueba de este hecho y me preguntaba si alguien podría proporcionar una prueba.

Una pregunta relacionada: Dado un polígono cóncavo (o, más generalmente, una de las dimensiones superiores polytope), ¿cómo podemos demostrar que siempre habrá dos vértices del polígono que no pueden ser unidas por una línea situada totalmente dentro del polígono?

Answer 1

Supongamos que existe un poliedro cóncavo para todas las conexiones de vértices producen líneas enteramente dentro del poliedro.

Puesto que el objeto es cóncavo, hay puntos en las dos caras con un segmento de conexión fuera del poliedro. Consideremos ahora el casco de los puntos de estos dos caras. El segmento de conexión debe estar dentro de este casco. Contradicción.

Answer 2

Voy a formular mi respuesta general de los conjuntos convexos en espacios vectoriales. Luego convexo cerrado polytopes (polígonos) en el lugar de acumular como un caso especial.

Si $C$ es un conjunto convexo de un espacio vectorial $X=\mathbb{R}^n$ (Uno fácilmente puede generalizar estos hechos a infinito-dimensional espacios) y $x\in\partial C$ (el límite de $C$), entonces, hay una línea de $\mathcal{H}=\{x| Hx = K\}$ que apoya a $C$$x$, es decir, para todos los $x\in C$ $Hx\leq K$ $x\notin C$ $Hx>K$ (La relación $\leq$ que se entiende como el elemento de orden sabio de los vectores de $X$.) Este apoyo hyperplane en el caso de $\mathbb{R}^2$ es una línea, es decir, su ángulo es $\pi$.

El ángulo que usted ha mencionado es en realidad el ángulo polar de la recta tangente cono $T_C(x)$ wheneven $x$ es un vértice de $C$. Si $x$ no es un vértice $T_C(x)$ es compatible con la tecnología hyper-plano; en general se trata de un cono que se encuentra completamente en un plano de apoyo de $C$$x$, por lo que su ángulo es menor o igual a $\pi$. Esto demuestra su reclamo en un contexto más general de la configuración.

Volviendo a tu pregunta de nuevo... también puede utilizar puramente Euclidiana argumentos (En la geometría Euclidiana por el camino, $A_1A_2\ldots A_n$ es convexo si contiene todos los segmentos de línea que se pueden extraer de sus vértices. Suponga que $\widehat{A_kA_{k+1} A_{k+2}}>180^\circ$. A continuación, $A_kA_{k+2}$ tiene todos sus puntos fuera del polígono.