En dependencia lineal de cuatro vectores en un espacio de dimensión 2?

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión 2 y $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ son cualquiera de los cuatro vectores en $V.$ Entonces siempre podemos encontrar constantes $\{c_1,c_2,c_3,c_4\}$ no todos cero, tales que $$c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+c_4v_4=0$$

Pero Podemos elegir $c_i$'s tales que junto con la ecuación anterior, $c_i$'s también satisfiy $$c_1c_4=c_2c_3$$

Answer 1

Deje $S = \{v_1,v_2,v_3,v_4\}$.

Resumen de la respuesta: depende del campo en el que se $V$ está definido. Si es algebraicamente cerrado (como $\Bbb C$), entonces la respuesta es sí, de lo contrario, tenemos que ver si el determinante de una ecuación cuadrática eqaution es positivo.

Caso 1: $\dim \mathop{\rm span}(S) = 1$

A continuación,$v_1=v_2=v_3=v_4=v$. Elija $c_1 = c_4 = 1, c_2 = c_3 = -1$.

Caso 2: $\dim \mathop{\rm span}(S) = 2 = \dim(V)$

WLOG, asumir $V = \mathop{\rm span}\{v_1,v_2\}$. $\exists \alpha_{31},\alpha_{32},\alpha_{41},\alpha_{42}\in \Bbb R$ tal que

\begin{cases} v_3=\alpha_{31}v_1+\alpha_{32}v_2\\ v_4=\alpha_{41}v_1+\alpha_{42}v_2. \end{casos}

Caso 2.1: $v_3,v_4$ lineal dependiente de la

$\exists t \in \Bbb R$ tal que $v_4 = t v_3$. Elija $c_1=c_2=0,c_3=t,c_4=-1$.

Caso 2.2: $v_3,v_4$ lineal independiente

Utilizando la independencia lineal de $v_1,v_2$, eliminar $v_3,v_4$.

\begin{cases} c_1+c_3\alpha_{31}+c_4\alpha_{41}&=0\\ c_2+c_3\alpha_{32}+c_4\alpha_{42}&=0\\ c_1c_4&=c_2c_3 \end{casos}

Si $c_1=c_2=0$, el sistema anterior se convierte en

\begin{cases} c_3\alpha_{31}+c_4\alpha_{41}&=0\\ c_3\alpha_{32}+c_4\alpha_{42}&=0 \end{casos}

Por la independencia lineal de $v_3,v_4$, $c_3=c_4=0$, que es algo que no queremos.

Si $c_1\ne0,c_2=0\implies c_4=0$. De $\sum_{i=1}^4 c_iv_i=0$, se debe concluir que $v_1$ $v_3$ son linealmente dependientes si las condiciones de la pregunta satified.

Del mismo modo, si $c_1=0,c_2\ne0\implies c_3=0$. De $\sum_{i=1}^4 c_iv_i=0$, se debe concluir que $v_2$ $v_4$ son linealmente dependientes si las condiciones de la pregunta satified.

Si $c_1,c_2\ne0$, $c_3,c_4\ne0$ (de lo contrario, el uso de $c_1c_4=c_2c_3$, $c_3 = 0\implies c_4=0$, lo que implica $c_1=c_2=0$.) Reescribir el sistema de ecuaciones en

\begin{cases} \frac{c_1}{c_3}+\alpha_{31}+\frac{c_4}{c_3}\alpha_{41}&=0\\ \frac{c_2}{c_4}+\frac{c_3}{c_4}\alpha_{32}+\alpha_{42}&=0\\ \frac{c_1}{c_3}&=\frac{c_2}{c_4} \end{casos}

Esto nos da $$\alpha_{31}+\frac{c_4}{c_3}\alpha_{41}=\frac{c_3}{c_4}\alpha_{32}+\alpha_{42}=-\frac{c_1}{c_3}=-\frac{c_2}{c_4}$$

Deje $\lambda = \dfrac{c_3}{c_4}$. A continuación, tenemos una ecuación cuadrática equeation $$\alpha_{32}\lambda^2+(\alpha_{42}-\alpha_{31})\lambda-\alpha_{41}=0.$$

Si cualquiera de $\alpha{ij} = 0$, a partir de la definición de $\alpha{ij}$, uno puede, usando el camino de caso 2.1, encontrar inmediatamente distinto de cero constantes $c_i,c_j$ tal que $c_iv_i+c_jv_j=0$. Por lo tanto, asumen $\alpha_{ij} \ne 0 \forall i,j$. A continuación, el factor determinante

$$\Delta=(\alpha_{42}-\alpha_{31})^2+4\alpha_{32}\alpha_{41}.$$

Si $V$ se define en el campo de $\Bbb C$ (u otros algebraicamente cerrado de campo), entonces vamos a tener ningún problema de escritura de $$\lambda = \frac{\alpha_{31}-\alpha_{42}\pm\sqrt\Delta}{2\alpha_{32}}.$$

De lo contrario, si el campo no es algebraicamente cerrado (por ejemplo,$\Bbb R$), necesitamos $\Delta \ge 0$.

Ahora, si podemos encontrar la $\sqrt\Delta$ en el campo en el que $V$ está definido, se puede elegir libremente a $c_4$, a continuación, calcular $c_3 = \lambda c_4$. Usarlos para obtener

\begin{cases} c_1&=-c_3\alpha_{31}-c_4\alpha_{41}\\ c_2&=-c_3\alpha_{32}-c_4\alpha_{42} \end{casos}

A continuación,$\sum_{i=1}^4 c_iv_i=0$$c_1c_4=c_2c_3$.