Breve secuencia exacta es dividir el fib contráctiles

Question

Deje $0\rightarrow A\overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} C\rightarrow 0$ ser una breve secuencia exacta en un abelian categoría. Estoy tratando de demostrar esta SES es contráctiles iff es split. Me las arreglé el $\implies$ dirección pero estoy teniendo problemas con la conversación. En primer lugar, el diagrama:

La cadena de homotopy relaciones en la izquierda y a la derecha los diamantes son, respectivamente,$s_n\circ f+0\circ s_{n+1}=1_A$$s_{n+2}\circ 0+g\circ s_{n-1}=1_C$. Por supuesto, la secuencia se divide, por lo que podemos (y debemos) tomar $s_n$ a la izquierda de la inversa de $f$ $s_{n-1}$ a ser el derecho de la inversa de $g$. Pero ahora, en el centro del diamante nos quedamos con la relación $s_{n-1}g+fs_n=1_{A\oplus C}$. Me parece que no puede mostrar por qué esta flecha debe ser la identidad.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\id}{id}$Creo que se mezclan los índices un poco. Lo que usted necesita demostrar es que el $f \circ s_n + s_{n-1} \circ g = \id_{A \oplus C}$. Por simplicidad que voy a volver a $B = A \oplus C$ a medio plazo, y voy a denotar $r = s_n$, $s = s_{n-1}$. Tenemos $r \circ f = \id_A$$g \circ s = \id_C$.

Así que quiero ser $\id_B = fr + sg$. Considere la posibilidad de $\varphi = \id_B - sg$; a continuación,$g\varphi = g - gsg = g - g = 0_B$. Así pues, con exactitud $\varphi$ factorizes a través de $A$ (por la definición del núcleo), decir $\varphi = fh$ algunos $h : B \to A$. A continuación,$fr\varphi = frfh = fh = \varphi$. Dada la expresión de $\varphi$, esto se traduce en: $$\begin{align} & fr - frsg = \id_B - sg \\ \iff & \id_B = fr + sg - frsg. \end{align}$$ Así que nos queda por demostrar que el $frsg = 0 \iff rsg = 0$ (debido a $f$ es monic). Por lo tanto, tienen que demostrar que $rs = 0$ (desde $g$ es épico).

Pero ahora esto es debido a cómo se construye el (izquierda/derecha) de los inversos de las $f$$g$. Se suele empezar con $r$ o $s$, y construir otro fuera de él (siguiendo el procedimiento que se describe allí , por ejemplo); y si se sigue este procedimiento, vas a ver que va a satisfacer $r \circ s = 0$. Otra forma de ver esto es que, para escribir $B = A \oplus C$, se supone implícitamente que la izquierda inversa de a $f$ es la proyección de la $A \oplus C \to A$ y el derecho a la inversa de $g$ es inyectiva $C \to A \oplus C$; es claro que la composición de estos dos mapas es cero.