Límite en el infinito

Question

Realmente quiero ayuda en este problema: dada una secuencia de pares $(x,y)$ en el $xy$ -avión
$$S=\left\{\left(n, \frac{-1}{\sqrt{n}}\right)\right\}_{n=1}^{\infty}\;,$$ cómo encontrar $$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+|x|}} \, \frac{1}{\big(\operatorname{dist}(x,S)\big)^{2}}$$

donde '' $\operatorname{dist}(x,S)$ '' es la distancia entre el punto $x$ y el conjunto $S$ definido por $\operatorname{dist}(x,S)=\inf\limits_{a_{n}\in S}\operatorname{dist} (x,a_{n})$ . Y como es sabido, la distancia entre dos puntos cualesquiera $P=(x_{1},y_{1})$ y $Q=(x_{2},y_{2})$ es $\operatorname{dist}(P,Q)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$ .

Sé que el límite del primer término es cero y el límite del segundo término es $\infty$ ¡¡Pero esto no ayuda!! ¿Alguna idea?

EDITAR : fue sólo un error tipográfico, un cuadrado debería estar en la distancia.

Answer 1

Set $a_x=\frac{1}{\sqrt{1+x}}\frac{1}{(\mathrm{dist}(x,S))^2}.$ Tenemos $\mathrm{dist}(x,S)^2=\min\{(x-\lfloor x \rfloor)^2+(\lfloor x \rfloor)^{-1},(x-\lceil x \rceil)^2+(\lceil x \rceil)^{-1}\}$ . En particular, si $n \in \mathbb{N}$ tenemos $\mathrm{dist}(n,S)^2=\frac{1}{n}$ . Pero entonces $a_n=\frac{n}{\sqrt{1+n}}$ y $a_n \to \infty$ . Por otro lado, si $x_n=n+\frac{1}{2}$ encontramos $(\mathrm{dist}(x_n,S))^2=\frac{9}{4}$ y por lo tanto $a_{x_n} = \frac{4}{9\sqrt{1+x_n}}$ . Pero entonces $\lim_{n\to \infty} a_{x_n}=0$ . Así que el límite $\lim_{x\rightarrow\infty}a_x$ no existe.

Answer 2

(Suponiendo que $\operatorname{dist}(x, S)$ significa $\operatorname{dist}((x, 0), S)$ )

El límite no existe porque $$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{\big(\operatorname{dist}(x,S)\big)^{2}}$$ no existe. Para la alta $x$ podemos aproximar $$\operatorname{dist}(x,S) = \operatorname{dist}(x,S')$$ con $S' = \lbrace (n, 0) \rbrace_{n=1}^\infty$ y es $$\operatorname{dist}(x,S') = |\operatorname{frac}(x+0.5) - 0.5|$$ Esta función oscila entre $0$ y $0.5$ .