Traté de resolver este problema de Souza Silva - Berkeley Problemas En Matemáticas:
En las Soluciones de parte, me fundada siguiente solución para este problema:
No entiendo la última declaración, entonces, ¿por $|f|\in R[0,1] \implies f \in R[0,1]$? Para mí está claro que es falso...O lo soy yo maltrataba aquí?
No estoy seguro de cuál es la solución que estaba tratando de hacer. Pero por Lebesgue del criterio, una limitada función que es continua en casi todas partes es Riemann-integrable. La hipótesis de las garantías que para cada entero positivo $n$, el conjunto de discontinuidades de $f$ $[1/n,1]$ tiene medida cero. Así el conjunto de discontinuidades de $f$ es una contables de la unión de los conjuntos de medida cero, por lo que tiene medida cero en sí misma. Junto con acotamiento, esto implica $f$ es integrable.
Creo que el punto de este ejercicio es demostrar integrabilidad en estas condiciones (tal vez como una integral impropia), sin invocar Lebesgue del criterio o de las herramientas más poderosas disponibles para la integración de Lebesgue-simplemente usando ese $|f(x)|$ está acotada.
Se afirma que $f$ es Riemann integrable sobre $[b,1]$ todos los $b$ tal que $0 < b \leq 1.$
La integral sobre la $[0,1]$ es potencialmente inadecuada en el extremo de $x=0$. Desde $f$ es acotado, esto descarta casos como el de $f(x) = 1/\sqrt{x}.$ sin Embargo podríamos considerar en un caso como el de la integral impropia
$$\int_{0}^{1} \sin (1/x) \, dx.$$
Tenga en cuenta que esta incorrecto integral existe y es absolutamente convergente así:
$$\int_{0}^{1} |\sin (1/x)| \, dx= \int_{1}^{\infty} \frac{|\sin x|}{x^2} \, dx <\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx=1.$$
Decimos que $f$ tiene una mala integral sobre la $[0,1]$ si el siguiente límite existe
$$\lim_{c \rightarrow 0}\int_{c}^{1} f(x) \, dx.$$
Una condición necesaria y suficiente para la integral impropia a existir el criterio de Cauchy: para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0 $ que si $0 < c_1 < c_2 < \delta$
$$\left|\int_{c_1}^{c_2} f(x) \, dx\right| < \epsilon.$$
Desde $|f(x)| \leq M$ $x \in (0,1]$ hemos
$$\left|\int_{c_1}^{c_2} f(x) \, dx\right| \leq \int_{c_1}^{c_2} |f(x)| \, dx\leq M|c_2-c_1|.$$ Choosing $\delta = \epsilon/M$ it follows that if $0 < c_1 < c_2 < \delta$
$$\left|\int_{c_1}^{c_2} f(x) \, dx\right| < \epsilon,$$
y la existencia de la integral impropia de $|f|$ implica que el mismo es cierto para $f$.
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