La comprensión de un ejemplo de "la extensión de escalares"

Question

El siguiente es un ejemplo en el Álgebra Abstracta por Dummit y Foote:

No entiendo en este ejemplo de por qué los $\iota$ es un isomorfismo. Por el Teorema 8, puedo conseguir $$ id_N=\Phi\circ\iota $$ lo que implica que $\iota$ es inyectiva y $\Phi$ es surjective. ¿Por qué es $\iota$ surjective o $\Phi$ es inyectiva?

Answer 1

Lo siento, mi anterior respuesta fue incorrecta: he tratado de ser muy elegante.

Parece un enfoque directo es probablemente el mejor. Tomar un simple tensor en $R \otimes_R N$ que será de la forma $r \otimes n = r(1 \otimes n) = r \iota (n)$. Arbitraria de elementos finitos sumas de simple los tensores, así que desde $\iota$ es un homomorphism, hemos terminado.

Answer 2

Vamos $\varphi: R \times N \to N$, $(r,n) \mapsto rn$ ser la $R$-bilineal multiplicación mapa, y deje $\Phi: R \otimes_R N \to N$ ser el mapa inducida por el universal de la propiedad del producto tensor, por lo $rn = \varphi(r,n) = \Phi(r \otimes n)$. Nos muestran que el mapa \begin{align*} \iota: N &\to R \otimes_R N\\ n &\mapsto 1 \otimes n \end{align*} y $\Phi$ son inversas, por lo tanto, son isomorphisms. Tenga en cuenta que $$ \Phi(\iota(n)) = \Phi(1 \otimes n) = \varphi(1,n) = 1 \cdot n = n $$ y desde $\Phi$ $\iota$ $R$- lineal, entonces \begin{align*} \iota\left(\Phi\left(\sum_\alpha r_\alpha \otimes n_\alpha \right)\right) &= \iota\left(\sum_\alpha \Phi(r_\alpha \otimes n_\alpha)\right) = \iota\left(\sum_\alpha r_\alpha n_\alpha \right) = \sum_\alpha \iota(r_\alpha n_\alpha)\\ &= \sum_\alpha 1 \otimes r_\alpha n_\alpha = \sum_\alpha r_\alpha \otimes n_\alpha \, . \end{align*} (Cada tensor es una suma finita de simple tensores, así que aquí la suma es $\alpha$ en algunos finito conjunto de índices $I$.) Por lo tanto $\Phi$ $\iota$ (mutuamente inversas) isomorphisms.