Encontrar todos los pares de naturales $(a,b)$ tal que $a^b-b^a=3$

Question

Esta pregunta se plantea en el concurso AMTI de segundo nivel.

Encontrar todos los pares de naturales $(a,b)$ tal que $a^b-b^a=3$ .

Mi intento : Uno de estos pares es $(4,1)$ . ¿Existen otros pares? Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Tomando mod 2 podemos ver fácilmente que exactamente uno de ellos es par .
Caso 1. $a=2m$ :
$$(2m)^b-b^{2m}=3$$
Si $b\geq3$ , $(2m)^b\equiv 0\pmod 8$ así que
$$-b^{2m}\equiv 3\pmod 8$$ $$b^{2m}\equiv 5\pmod 8$$ pero ningún cuadrado es 5 mod 8, así que no hay solución, así que $b=1$
$$2m-1=3$$ $$m=2,a=4$$ Caso 1. $b=2m$ :
$$(a)^{2m}-(2m)^{a}=3$$
Si $a\geq3$ , $(2m)^a\equiv 0\pmod 8$ así que
$$a^{2m}\equiv 3\pmod 8$$ pero ningún cuadrado es 3 mod 8, así que no hay solución, así que $a=1$
$$1-2m=3$$ pero ninguna solución natural
La única solución es $(4,1)$