¿Existe una función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, con una constante de $a \in \mathbb{R}$ tal que
$$\int_{a}^{a} f(x) \, dx \neq 0 \quad$$ se mantiene?
Respuestas
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RootAlert
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No, porque el $\{a\}$ es un conjunto null.
Para ser más precisos, para cualquier función de $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que $$ f \cdot 1_{\{a\}} = f(a) \cdot 1_{\{a\}} $$ es Lebesgue medible. Por lo tanto la integral es siempre definida y cero, porque de $$ \int_\mathbb{R} f(x) \cdot 1_{\{a\}}(x) \, dx = \int_{\{a\}} f(a) \, dx = f(a) \cdot \lambda(\{a\}) = 0.$$
Observación 1:
Para cualquier conjunto null $A$, y cualquier Lebesgue medibles función de $f$ tiene
$$ \int_A f(x) \, dx = 0 $$
y cada una de Riemann integrable función es Lebesgue medible.
Observación 2:
Para cualquier conjunto null $A$ y cualquier función de $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que $1_A \cdot f$ es Lebesgue medible y por lo tanto $$\int_A f(x) \, dx = 0.$$
Prince Vultan
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Como otros lo han explicado, en general la respuesta es 'no'.
Sin embargo, en la física a veces es bueno tener algo 'función-como" el que es cero en todas partes, pero en un punto (null) y todavía tiene una integral de 1. Esta no es una función sino una más generalizada objeto de distribución, la Distribución de Dirac.
Paquarian
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Suponiendo que la integral definida, la respuesta en NO.
$$\int_{a}^{a} f(x) dx =\int_{\{a\}} f(x) dx$$ and since the integral on the right is taken over the set of measure $0$, the integral is $0$.
Sin embargo, observe que si en lugar de la medida de Lebesgue ponemos un recuento medida en $\mathbb{R}$ ( $\mu$ ), luego
$$\int_{a}^{a} f(x) d \mu =\int_{\{a\}} f(x) d \mu=f(a)$$ Thus, any measurable function that is non-zero on $$ le dará un valor distinto de cero integral.
Edouard L.
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Eduardo MSánchez
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