(NB : Este iba a ser un comentario, no una respuesta, pero rápidamente se convirtió en demasiado largo)
A mí me parece que el punto no es la apariencia de $\pi$ en el número de clase de la fórmula (después de todo, esto podría ser considerado como una técnica de producto de la prueba), pero profundamente misteriosa forma en que esta fórmula se une a una expresión algebraica objeto (el grupo de clase) y un objeto analítico ($\zeta$- función) por medio de un trascendental determinante (el regulador). No estoy completamente de acuerdo con @Mathmo123 que Tate es una tesis que realmente explica por qué sucede esto. En realidad, la Tate resueltamente adoptado el global-local punto de vista de la definición generalizada $\zeta$- funciones integrales sobre la idèle grupo de peso de funciones, lo que le permitió aplicar toda la fuerza de resumen el análisis de Fourier en localmente compacto abelian grupos a establecer en un trazo, una continuación analítica y funcional de la ecuación. Este idelic enfoque se ilustra el poder de la global-local de principio en la teoría de números, que consiste en poner el la $p$-ádico mundos en un pie de igualdad con el de arquímedes mundo . Pero queda por explicar por qué este principio funciona tan bien.
Volviendo a la OP pregunta, es natural que a la vuelta a su alrededor y se preguntan por qué el número de clase de $h$ aparece en una fórmula de dar el residuo de $\zeta_F$$s=1$. En realidad, los poderes de la $\pi$ puede ser anulado por la aplicación de la ecuación funcional, que da la fórmula $\zeta_F(0)^*=-Rh/w $ para el especial valor de $\zeta_F(0)^* :=$ el primer distinto de cero los coeficientes en la expansión de Taylor de $\zeta_F$$s=0$. Aquí $w$ es el orden del grupo de raíces de la unidad contenida en $F$. No sólo el especial valor en $0$ parece más sencillo, pero el número racional $h/w$ desea que algunos de la misma en todos los valores negativos $s=-n, n\in \mathbf N$. Las sugerencias dadas por los valores especiales de la de Riemann $\zeta$-función. Es clásicamente conocido que : $\zeta(0)=-1/2, \zeta (1-2m)=-B_{2m}/2m$ donde $B_k$ $k$- ésimo número de Bernoulli, $-2m$ es un cero simple, $\zeta(-2m)^*= (?)$ (el misterio es el mismo para $\zeta(2m+1)$). Número de teóricos tienen un manierismo : cuando se enfrenta a un número racional, inevitablemente preguntar si el numerador y el denominador puede ser las órdenes de algunos de los grupos finitos . Sorprendentemente, este es el caso. A principios de la década de 1970, Lichtenbaum propuso la siguiente conjetura (algunos jerga es inevitable aquí) : para cualquier número de campo $F$, $\zeta_F(1-m)^*=\pm 2^? R_m\mid K_{2m-2}O_F\mid/\mid tors K_{2m-1}O_F\mid$ para cualquier $m \ge 2$. Anotaciones : el exponente (?) puede ser hecho preciso; $R_m$ es el Borel-Beilinson regulador, un elaborado generalización de la Dedekind regulador $R$ (ver a continuación); el Quillen grupos $K_{i}O_F$ son topológicas de los objetos conectados al anillo de enteros $O_F$. Para más detalles, véase por ejemplo [BK].
El Lichtenbaum conjetura es ahora un teorema al $F$ es un abelian campo. Pero la prueba fue hecha posible sólo en el interior de la parte conjetural) marco de la de Bloch-Kato conjeturas sobre los valores especiales de "motivic L-funciones".
El llamado de la búsqueda para "motivos" se remonta a una idea original de Grothendieck, que uno podría encontrar inverosímil, pero que yo prefiero llamar "platónico". Recuerde de Platón "apologue de la caverna": nosotros, los humanos viven en una cueva, y la realidad física de la que percibimos consiste en la proyección de sombras en las paredes por el sol en la espalda; el estudio de estas sombras podría ocupar toda una vida, pero para entender la verdadera "realidad", nos debe dar la vuelta y enfrentar el arquetipo de los proyectos que estas sombras. Grothendieck aplicado este concepto filosófico para algebraicas/aritmética geometría : en torno a una determinada variedad se flotante de un host de diferentes cohomologies (Betti, de Rahm, étale...), que se convierten en isomorfo al pasar a una expresión algebraica de cierre, pero ese paso destruye toda la aritmética de las propiedades que nos interesan. Siguiendo a Platón, Grothendieck sugirió a buscar, no en la sombra, pero en el arquetipo, el conjetural motivic cohomology, que sería lanzar sus sombras por medio del regulador de mapas. esto se logró a principios de este siglo por Voevodsky, indicando, en particular, una relación precisa entre la K-teoría y Galois/étale cohomology a través de Chern clas mapas (=el regulador de mapas, cuyos determinantes son el regulador de los números que aparecen en el especial de valores).
Para resumir : la mezcla de álgebra-análisis de la topología en especial los valores de $\zeta$ sin duda sigue siendo un misterio, pero es natural, en que revela la profunda unidad de la matemática. Hay una leyenda (?) acerca de las últimas palabras de Hermite. En su lecho de muerte, él hubiera dicho : "Ahora voy a ser capaz de ver a Zeta cara a cara".
[BK] "La de Bloch-Kato Conjetura para la Riemann Zeta Función", Actas del 2012 Pune conferencia, editado por John Coates & al., Londres Matemáticas. Soc. LNS 418,2015
