Transformación de Fourier inversa de un coseno hiperbólico

Question

Este problema surge al tratar de resolver, mediante la transformación de Fourier, el problema de Cauchy

$$\begin {cases} u_{tt}-u_{xxxx}=0 &x \in\mathbb {R},\, t \geq 0 \\ \begin {cases} u(0,x)=f(x) \\ u_t(0,x)=0 \end {cases} \end {cases}$$

Esa es una onda de cuarto orden PDE.

Haciendo integrales formales, llego a esta expresión después de completar cuadrados y usar definiciones de funciones de error:

$$\frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \int_ {- \infty }^{ \infty } \cosh (k^2t)e^{ikx}~dk= \frac {1}{4 \sqrt {2t}}e^{- \frac {x^2}{4t}} \left [ \text {erf} \left ( \sqrt {t} \left (k- \frac {ix}{2t} \right ) \right )+e^{ \frac {x^2}{2t}} \text {erfi} \left ( \sqrt {t} \left (k+ \frac {ix}{2t} \right ) \right ) \right ]_{- \infty }^{ \infty }= \frac {1}{4 \sqrt {2t}}e^{- \frac {x^2}{4t}} \biggl (2+e^{ \frac {x^2}{2t}} \left [ \text {erfi} \left ( \sqrt {t} \left (k+ \frac {ix}{2t} \right ) \right ) \right ]_{- \infty }^{ \infty } \biggr )$$

donde he evaluado $\text {erf}$ en la última línea. Mi problema es que sé que $\text {erfi}$ no tiene un límite cuando $k \to\infty$ ya que no tiene límites sobre la línea real. Sin embargo, hacer esta transformación inversa de Fourier usando el comando de Mathematica correspondiente me da:

$$\frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \int_ {- \infty }^{ \infty } \cosh (k^2t)e^{ikx}~dk= \frac {1}{4 \sqrt {2t}}e^{- \frac {x^2}{4t}} \left (2+2ie^{ \frac {x^2}{2t}} \right )$$

donde he arreglado los términos para obtener la misma forma que el resultado que he descrito antes.

¿Qué es lo que no entiendo?

Answer 1

Debe ser un error, porque esta integral de Fourier ni siquiera converge como distribuciones templadas, y mucho menos como funciones.

En general, cualquier cosa de crecimiento exponencial o más no tiene una transformada de Fourier en ningún sentido.

Answer 2

Esto significa que este problema de Cauchy ya no puede ser resuelto por la transformada de Fourier.

Por lo tanto, debe utilizar la separación de variables:

Dejemos que $u(t,x)=T(t)X(x)$ ,

Entonces $T''(t)X(x)-T(t)X''''(x)=0$

$T''(t)X(x)=T(t)X''''(x)$

$\dfrac{T''(t)}{T(t)}=\dfrac{X''''(x)}{X(x)}=s^4$

$\begin{cases}T''(t)-s^4T(t)=0\\X''''(x)-s^4X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=\begin{cases}c_1(s)\sinh ts^2+c_2(s)\cosh ts^2&\text{when}~s\neq0\\c_1t+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\\X(x)=\begin{cases}c_3(s)\sinh xs+c_4(s)\cosh xs+c_5(s)\sin xs+c_6(s)\cos xs&\text{when}~s\neq0\\c_3x^3+c_4x^2+c_5x+c_6&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(t,x)=\int_0^\infty C_1(s)\sinh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)\sinh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty C_3(s)\sinh ts^2\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)\sinh ts^2\cos xs~ds+\int_0^\infty C_5(s)\cosh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_6(s)\cosh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty C_7(s)\cosh ts^2\sin xs~ds+\int_0^\infty C_8(s)\cosh ts^2\cos xs~ds$

$u_t(t,x)=\int_0^\infty s^2C_1(s)\cosh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty s^2C_2(s)\cosh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty s^2C_3(s)\cosh ts^2\sin xs~ds+\int_0^\infty s^2C_4(s)\cosh ts^2\cos xs~ds+\int_0^\infty s^2C_5(s)\sinh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty s^2C_6(s)\sinh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty s^2C_7(s)\sinh ts^2\sin xs~ds+\int_0^\infty s^2C_8(s)\sinh ts^2\cos xs~ds$

$u_t(0,x)=0$ :

$\int_0^\infty s^2C_1(s)\sinh xs~ds+\int_0^\infty s^2C_2(s)\cosh xs~ds+\int_0^\infty s^2C_3(s)\sin xs~ds+\int_0^\infty s^2C_4(s)\cos xs~ds=0$

$\int_0^\infty s^2C_3(s)\sin xs~ds=-\int_0^\infty s^2C_1(s)\sinh xs~ds-\int_0^\infty s^2C_2(s)\cosh xs~ds-\int_0^\infty s^2C_4(s)\cos xs~ds$

$\mathcal{F}_{s,s\to x}\{s^2C_3(s)\}=-\int_0^\infty s^2C_1(s)\sinh xs~ds-\int_0^\infty s^2C_2(s)\cosh xs~ds-\mathcal{F}_{c,s\to x}\{s^2C_4(s)\}$

$C_3(s)=-\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty s^2C_1(s)\sinh xs~ds\}}{s^2}-\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty s^2C_2(s)\cosh xs~ds\}}{s^2}-\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{s^2C_4(s)\}\}}{s^2}$

$\therefore u(t,x)=\int_0^\infty C_1(s)\sinh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)\sinh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)\sinh ts^2\cos xs~ds-\int_0^\infty\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty s^2C_1(s)\sinh xs~ds\}\sinh ts^2\sin xs}{s^2}ds-\int_0^\infty\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty s^2C_2(s)\cosh xs~ds\}\sinh ts^2\sin xs}{s^2}ds-\int_0^\infty\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{s^2C_4(s)\}\}\sinh ts^2\sin xs}{s^2}ds+\int_0^\infty C_5(s)\cosh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_6(s)\cosh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty C_7(s)\cosh ts^2\sin xs~ds+\int_0^\infty C_8(s)\cosh ts^2\cos xs~ds$

$u(0,x)=f(x)$ :

$\int_0^\infty C_5(s)\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_6(s)\cosh xs~ds+\int_0^\infty C_7(s)\sin xs~ds+\int_0^\infty C_8(s)\cos xs~ds=f(x)$

$\int_0^\infty C_7(s)\sin xs~ds=f(x)-\int_0^\infty C_5(s)\sinh xs~ds-\int_0^\infty C_6(s)\cosh xs~ds-\int_0^\infty C_8(s)\cos xs~ds$

$\mathcal{F}_{s,s\to x}\{C_7(s)\}=f(x)-\int_0^\infty C_5(s)\sinh xs~ds-\int_0^\infty C_6(s)\cosh xs~ds-\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_8(s)\}$

$C_7(s)=\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{f(x)\}-\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty C_5(s)\sinh xs~ds\}-\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty C_6(s)\cosh xs~ds\}-\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_8(s)\}\}$

$\therefore u(t,x)=\int_0^\infty C_1(s)\sinh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)\sinh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty C_4(s)\sinh ts^2\cos xs~ds-\int_0^\infty\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty s^2C_1(s)\sinh xs~ds\}\sinh ts^2\sin xs}{s^2}ds-\int_0^\infty\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty s^2C_2(s)\cosh xs~ds\}\sinh ts^2\sin xs}{s^2}ds-\int_0^\infty\dfrac{\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{s^2C_4(s)\}\}\sinh ts^2\sin xs}{s^2}ds+\int_0^\infty C_5(s)\cosh ts^2\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_6(s)\cosh ts^2\cosh xs~ds+\int_0^\infty C_8(s)\cosh ts^2\cos xs~ds+\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{f(x)\}\cosh ts^2\sin xs~ds-\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty C_5(s)\sinh xs~ds\}\cosh ts^2\sin xs~ds-\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\int_0^\infty C_6(s)\cosh xs~ds\}\cosh ts^2\sin xs~ds-\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{\mathcal{F}_{c,s\to x}\{C_8(s)\}\}\cosh ts^2\sin xs~ds$