$f=\infty$ sobre un conjunto de medida 0, $\int_E f = 0$

Question

Deje $E$ ser un conjunto de medida cero y definir $f = \infty$$E$. Mostrar que $\int_E f = 0$.

Esto está fuera de Royden 4E, p 84.

Sé cómo probar esto si $f=0$$E$. Pero tengo curiosidad, como se ha dicho, esto no resulta en una situación en la que $\infty \cdot 0$.

Answer 1

Royden de definición (al menos en la Segunda Edición - dudo de que haya cambiado) de $\int_E f$ donde $f$ es medible no negativa de la función en conjunto medible $E$, es $$ \int_E f = \sup_{h \le f} \int_E h$$ donde $h$ es un acotado medible función tal que $m\{x: h(x) \ne 0\}$ es finito. Por lo tanto, si $h$ es una función de y $\mu(E) = 0$, lo $\int_E h$?

Answer 2

La integral de Lebesgue no "ver" los conjuntos de medida cero. Es decir, si $X$ es cualquier conjunto y $A$ un conjunto de medida cero, entonces $$ \int_X f = \int_{X \setminus A} f. $$ Para tu pregunta, tenemos $$ \int_E f = \int_{E \setminus E} f = \int_\emptyset f = 0. $$

Answer 3

La convención en teoría de la medida es que el $\infty \cdot0=0$. Que la convención se toma específicamente para que la $\int_E f d\mu = 0$ siempre $\mu(E)=0$, independientemente de $f$.

Answer 4

Con algunos simples teoremas acerca de la integración a través de subconjuntos tenemos que

$\qquad\displaystyle\int_E f \,d\mu = \int_X \chi_E\cdot f\,d\mu = \int_X 0 \,d\mu = 0 \cdot \mu(X) = 0$,

donde hemos usado que $f \cdot \chi_E = 0$.e. y que la integral de a dos.e. la igualdad de las funciones de acuerdo.

Por supuesto, todo esto depende del orden en que uno se desarrolla la teoría de la medida y, por tanto, qué definiciones de uno está trabajando. También se puede definir integrales a través de subconjuntos por la restricción de medir de una forma adecuada y, a continuación, probar que

$\qquad\displaystyle\int_E f\,d\mu = \int_X \chi_E\cdot f\,d\mu$.