G es un grupo si y sólo si para todos $a,b∈G$, $ax=b$ tiene solución; ¿verdadero o falso? Por qué?

Question

Creo que sólo necesitamos $ax=b$ o $ya=b$ tienen soluciones en $G$, voy a demostrarlo.

Prueba:

(I)

$G$ es un grupo $\implies$ $a^{-1}ax=a^{-1}b$ $\implies$ $x=a^{-1}b$ $\implies$ $ax=b$ tiene soluciones en $G$

(II)

(A) $ax=b$ tiene soluciones en $G$ $\implies$ $ax=a$ tiene soluciones en $G$ $\implies$ existe un elemento de identidad $e∈G$ tal que $ae=ea=a$

(B) $ax=b$ tiene soluciones en $G$ $\implies$ $ax=e$ tiene soluciones en $G$ $\implies$ existe una relación inversa entre el elemento $a^{-1}∈G$ tal que $ae=ea=a$

Por lo tanto, $ax=b$ tiene soluciones en el semigroup $G$ (para todos los $a,b\in G$) si y sólo si $G$ es un grupo.

La correcta?

Referencia: Fraleigh p. 49 Pregunta 4.39 en Un Primer Curso de Álgebra Abstracta

Answer 1

Como se ha señalado en los comentarios, hay lagunas en la prueba, tal y como está.

Damos un inicio hacia una correcta prueba. Vamos a necesitar la solvencia de ambos tipos de ecuación, $ax=b$$ya=b$.

Deje $a$ ser algún elemento fijo de nuestra semigroup. Por lo que escribiste, no es un objeto $e_a$ tal que $ae_a=a$.

Nos muestran que $be_a=b$ cualquier $b$. Para mostrar esto, se observa que hay un $y$ tal que $b=ya$. Multiplicando a la derecha, por $\color{darkcyan}{e_a}$, obtenemos $$\begin{align} b\color{darkcyan}{e_a} & = (ya)\color{darkcyan}{e_a} \\ &= y(a\color{darkcyan}{e_a}) \\ &= ya \\&= b \end{align}$$

Esto demuestra que nuestra semigroup tiene derecho a una identidad.

En forma similar, uno puede mostrar que la semigroup ha dejado de identidad.

Es muy fácil demostrar que si $e_r$ es un derecho de la identidad y la $e_l$ está a la izquierda de la identidad, a continuación,$e_r=e_l$.

Mostrando la existencia de la inversa de cualquier $b$ es de la izquierda.