¿Por qué usamos grande Oh en serie de taylor?

Question

En la serie de taylor de sen(x), podemos escribir:

$$ \sin{x} = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7) $$

Lo que significa que $\sin{x} = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ y los términos de la orden de $x^7$ y más, por lo que decir que los "términos de orden superior' son iguales a $O(x^7)$.

Sin embargo, según la wikipedia, la definición de $f(x) = O(g(x))$ es que para todos los $x > x_o$ para algunos $x_o$, $\frac{|f(x)|}{|g(x)|} < M $ para algunas constantes M. de Acuerdo a esta definición, los términos después de que el $x^7$th plazo en la expansión de taylor de $\sin{x}$ /no/ $O(x^7)$, porque como $x$ enfoques infinito, los términos de orden superior debe dominar el $O(x^7)$ plazo, no será limitada por ella.

Me estoy perdiendo algo aquí?

Answer 1

El concepto de Big Oh es uno de aproximación en un barrio. Esto significa que si usted tiene una aproximación numérica es una vecindad de x, a continuación, los términos de orden superior rápidamente ir a cero con pequeñas perturbaciones. Si me muevo $.001$ $x$ $.001$ a la séptima es la siguiente más grande término de la serie, y es, de hecho, muy pequeño.

El segundo de dos líneas de la definición formal de la wikipedia son lo que usted desea pensar en términos de un desarrollo en serie de taylor la aproximación de una función periódica.