Encontrar la imagen de una asignación de más de una región.

Question

Estoy teniendo un momento muy difícil entender el concepto de las imágenes y de las asignaciones en el plano complejo.

Teniendo en cuenta el mapa $w=e^{z}=e^{x}e^{iy}$, encontramos la imagen de la región de $\left\lbrace x+iy:x\geq 0, 0\leq y \leq\pi \right\rbrace$. Basado en mi entendimiento actual, he reescrito $w=e^z$ por romper aparte con la Fórmula de Euler: $$w=e^{x}\left(\cos{y}+i\sin{y}\right)=e^{x}\cos{y}+ie^{x}\sin{y}.$$ A partir de aquí, sabemos que $u(x,y)=e^{x}\cos{y}$$v(x,y)=e^x\sin{y}$. Podría entonces volver a escribir la asignación como $f(x,y)=\left(e^{x}\cos{y},e^x\sin{y}\right)$ con el fin de esbozar las distintas $xy$ $uv$ aviones?

Answer 1

Sugerencia: piense en $e^x (\cos y + i \sin y)$ en coordenadas polares.

Answer 2

Has escrito $e^x(\cos y + i\sin y)$. Ahora note que $e^x$ es real y positivo, y $\cos y +i\sin y$ está en el círculo unitario con centro en el $0$. Y desde $y$ entre $0$$\pi$, en la mitad superior del círculo unitario. Así que tenemos un número positivo veces un número en la mitad superior del círculo unitario. El mencionado número positivo puede mover ese punto en la parte superior del círculo más lejos del origen o cerca de ella. Simplemente le dice cómo desde el origen es. La ubicación precisa en el círculo indica en qué dirección desde el origen es.

Ahora note que el número positivo puede ser cualquier número positivo, por la elección de $x$ según sea necesario, y de ese punto en el círculo podría ser cualquier punto en la mitad superior del círculo, eligiendo $y$ según sea necesario. Mira la foto y verás la respuesta a su pregunta.

Nota posterior: Robert Israel me recuerda que existe la restricción de que $x\ge 0$. Eso implicaría que $e^x\ge 1$. Por lo tanto, usted consigue solamente los puntos de dentro y fuera del círculo unidad.