Pregunta sobre valor medio teorema de

Question

Aquí está el problema:

Supongamos que el conjunto de $\{x\mid f(x)\not = 0,x\in[a,b]\}$ no está vacío, y $f$ es diferenciable en a $[a,b]$,$f(a)=f(b)=0$.

Demostrar que $\exists c$, de tal manera que $$|f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_{a}^{b}|f(x)|dx$$

Mi intento es que la primera vez, para demostrar que existe $c$ s.t. $$|f'(c)|>\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}|f'(x)|dx$$ y a continuación, utilizar la variación positiva de demostrar que $$\int_{a}^{b}|f'(x)|dx\ge\frac{2}{(b-a)}\int_{a}^{b}|f(x)|dx$$ desde $|f(x)|\le P_F(b)$, $P_F(x)$ es la variación positiva de la función de $f$.

Pero el coeficiente es sólo $\frac{2}{(b-a)^2}$, no $\frac{4}{(b-a)^2}$, lo que me molesta mucho.

Tanto el coeficiente de mis dos desigualdad no puede ser mejorado (que yo sepa..) ya que el anterior se puede aproximar por dejar a $f$ ser una tienda de campaña de la función y el último puede ser aproximada por dejar a $f$ ser una constante mayor que cero.(Por supuesto, el ejemplo debe ser apaciguado por lo que el $f$ pueden ser diferenciados.)

La esperanza de encontrar algún método válido, gracias por su atención!

Answer 1

Con la ayuda de @FrankScience , aquí está mi nuevo intento.

WLOG, vamos a $a=-1,b=1$, la desigualdad se convierte en $$|f'(c)|>\int_{-1}^1|f(x)|dx$$ . Here we must prove that the graph $(x,|f(x)|)$ lies in the triangle made from $(-1,0),(1,0),(0,M)$. Donde $M=\sup|f'(x)|$.

Es decir ,tenemos $x\in[-1,0]\Rightarrow|f(x)|\le M(x+1)$$x\in[0,1]\Rightarrow|f(x)|\le -M(x-1)$.

Para la primera desigualdad, tenga en cuenta que $$|f(x)|=\left|\int_{-1}^x f'(s)ds\right|\le M(x+1)$$ La segunda desigualdad se cumple desde $$|f(x)|=\left|\int_{x}^{1} f'(s)ds\right|\le M(1-x)$$ Es decir, $$\int_{-1}^{1}|f(x)|dx\le \sup |f'(x)|$$ Para conseguir la igualdad, $f(x)$ debe ser igual a $M(x+1)$ $M(1-x)$ casi todos los lugares, respectivamente, en estos dos intervalos, que no pueden ser satisfechas desde $f$ es diferenciable. Tan estricta desigualdad se cumple