Integral y la teoría de la medida pregunta

Question

Vamos a E_n ser una secuencia de Lebesgue medibles establece en [0,1]. Supongamos que para $0 \leq k \leq 1$ tenemos que $m(E_n \cap [0,r])= kr$ para cualquier r, tal que $0 \leq r \leq 1$.

Demostrar que la $$\lim_{ n \rightarrow \infty} \int_{E_n} f(x) dx= k \int_{[0,1]} f(x) dx,$$ donde $f \in L^1([0,1])$.

He intentado hacer lo siguiente. $$k \int_{[0,1]} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{m(E_n \cap [0,r])}{r} \int_{[0,1]} f(x)dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{[0,r]} \frac{\chi_{E_n} (t)}{r} dt \int_{[0,1]} f(x) dx= \int_{[0,1]} \int_{[0,r]}\frac{\chi_{E_n} (t) f(x)}{r} dt dx.$$

Quiero de alguna manera cambiar el orden de integración para el cambio de $\chi_{E_n}(t)$ $\chi_{E_n}(x)$(tal vez la aplicación de Fubini Tonelli), pero no creo que sea posible.

*******La aplicación de los comentarios sugerencias********

Desde el paso de las funciones son densos en $L^1$ existe $\phi_l \nearrow f$. Tomamos nota de que podamos aplicar la DCT porque $\phi_l \leq f$$f \in L^1$.

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{[0,1]} \chi_{E_n}(x) \lim_{l \rightarrow \infty} \phi_l(x)dx= \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{l \rightarrow \infty} \int_{[0,1]} \chi_{E_n}(x) \phi_l(x)dx.$$

Quiero cambiar el orden de los límites de decir que $$\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{l \rightarrow \infty} \int_{[0,1]} \chi_{E_n}(x) \phi_l(x)dx= \lim_{l \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{[0,1]} \chi_{E_n}(x) \phi_l(x)dx= \lim_{l \rightarrow \infty} k \int_{[0,1]} \phi_l (x) dx = k \int_{[0,1]} f(x)dx.$$

No sé cómo justificar que de hecho puedo cambiar el orden de los límites.

Answer 1

No veo la importancia de que el índice de $n$ en este problema, se puede mostrar en el hecho de que para cada $n\in \mathbb{N}$, tenemos $$\int_{E_n} f(x) dx = k \int_0^1 f(x) dx,$$ lo que implica la igualdad también llevará a cabo si tomamos el límite de $n\rightarrow \infty$.

Por ahora vamos a llamar a $E_n$ $E$ ya que la igualdad no depende del índice de $n$.

Definir una medida $\mu_E:\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$\mu_E (A) = m(A\cap E).$$ (verifique esto es de hecho una medida)

A partir de la suposición de que $m(E\cap [0,r]) = kr,$ podemos aplicar Dynkin $\pi - \lambda$ teorema a la conclusión de que $$\mu_E (A) = m(A\cap E) = km(A)$$ para cada una de las $A\in \mathcal{A}$. Entonces la integral de la igualdad se mantenga trivialmente.

Edit: $m(E\cap [0,r]) = kr,$ implica que $$\mu_E (A) = m(A\cap E) = km(A)$$ for each $Un\in \mathcal{A_0}$, the collection of all finite union of intervals in $[0,1]$. If you are not familiar with the Dynkin $\pi - \lambda$ teorema, ver aquí (yo lo he utilizado para mostrar que dos medidas son idénticos, si están de acuerdo en cada intervalo).