normalizador de un subgrupo cíclico en un torsiones hiperbólico grupo

Question

Cómo se puede demostrar que en una de torsión libre hiperbólico grupo si los elementos de a $x$ $y$ (edit: $y\ne1$) cumplir: $$xy^mx^{-1}=y^n$$ a continuación, $m=n$ $x$ $y$ pertenecen al mismo subgrupo cíclico?

Answer 1

Aquí es un argumento. Usted necesitará algunos hechos básicos acerca de la hiperbólico de los grupos, que se pueden encontrar, por ejemplo, en el libro Bridson y Haefliger "Métrica Espacios de No-Curvatura Positiva".

Voy a suponer que $y$ es no trivial, de lo contrario no hay nada que demostrar (con la excepción de $n=m$ fallará). Tenga en cuenta el límite $\partial G$ de la hiperbólico grupo $G$. Entonces, desde el $G$ es de torsiones, $y$ tiene exactamente dos puntos fijos $p, q$$\partial G$. Lo mismo vale para las potencias $y^m, y^n$. Por lo tanto, $x$ conserva el conjunto $S=\{p, q\}$: Los puntos de $p, q$ son fijos por $x$ o se intercambian por ella. En cualquier caso, el subgrupo $H$ generado por $x$ $y$ conserva el conjunto $S$ y, por lo tanto, es elemental. Cada escuela primaria subgrupo de un grupo hiperbólico es prácticamente cíclico, es decir, contiene un subgrupo cíclico de índice finito. Desde $G$ es de torsiones, el subgrupo $H$, por lo tanto, es infinito cíclica (ver más abajo). El hecho de que $n=m$ se sigue inmediatamente de la conmutatividad del grupo $H$.

Lema. Cada trivial de torsión libre prácticamente cíclico grupo $H$ es infinito cíclico.

Prueba. Deje $C$ ser un infinito cíclico subgrupo de índice finito en $H$. Considere la posibilidad de la acción discreto de $C$ sobre la línea real por las traducciones. El uso de la inducida por la representación de la construcción, se obtiene una discreta acción isométrica de $H$ en un espacio Euclidiano $E$. Entonces, por una Bieberbach del teorema, existe un subespacio afín $A\subset E$ invariantes bajo la acción de $H$, en el que $H$ actos cocompactly. Desde $H$ es prácticamente cíclico, el subespacio $A$ tiene que ser de 1-dimensional. Dado que la acción de $H$ $E$ es propiamente discontinua, el núcleo de la acción de la $H$ $A$ es finito. Desde $H$ es de torsión libre, el núcleo es trivial. La acción de la $H$ sobre la línea de $A$ ha de ser por las traducciones (ya $H$ es de torsiones). Por lo tanto, $H$ actúa en $A$ como un infinito cíclico grupo. Dado que el núcleo de la acción es trivial, el grupo $H$ es infinito cíclico. QED

Probablemente puramente algebraica prueba de ello, evitando afín acciones, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.