¿Cuántos pases tiene una montura de mono?

Question

John Stillwell escribe en Documentos de Poincaré sobre topología :

El estudio de las "fosas, picos y pasos" en las superficies en $\mathbb R^3$ por Cayley (1859) y Maxwell (1870). Una familia de planos paralelos en $\mathbb R^3$ se cruza con una superficie $S$ en curvas que podemos ver como curvas de "altura constante" (curvas de nivel) en $S$ . Si se considera que los planos están en posición general, y la superficie es lisa, entonces $S$ sólo tiene un número finito de "fosas, picos y pasos" en relación con la función de altura. Resulta que $$\text{number of peaks} - \text{number of passes} + \text{number of pits}$$ es precisamente la característica de Euler de $S$ .

Así que un pico es un máximo local, un pozo es un mínimo local. Pero, ¿qué es un paso?

De la wiki sobre paso de montaña Supongo que un paso es un camino de un hueco a otro hueco. Digamos que tenemos una silla de montar, entonces tenemos un paso.

Pero, ¿y si tenemos un silla de montar de mono y, por tanto, tres huecos adyacentes entre sí:

¿Cuántos pases tenemos aquí y cuáles son exactamente?

Editar : De "Surface Topology" de Firby y Gardiner:

Un pase se mueve desde un hueco, a través del punto crítico, hacia el hueco adyacente. Por lo tanto, el número de pases a través del punto crítico es uno menos que el número de huecos adyacentes al punto crítico.

Supongo que tenemos tres huecos adyacentes al punto crítico. Así que deberíamos tener dos pases. Pero, ¿qué y dónde están?

Answer 1

Si nuestra superficie está dada localmente por una ecuación $z=f(x,y)$ entonces yo pensaría que un "pico" es un punto crítico donde el Hessian tiene dos valores propios negativos, un "pozo" es un punto en el que tiene dos valores propios positivos, y un "paso" es un punto en el que tiene un valor propio negativo y otro positivo.

Como tal, el punto crítico de la Silla de montar del mono dado por $z=x^3-3xy^2$ no es ninguna de las anteriores, ya que su hessiano desaparece en $(0,0)$ . Otra forma de decirlo: con la mejor aproximación cuadrática, esta superficie es plana en el origen.

Answer 2

La silla de montar del mono no está en posición general, pero hay una cosa interesante que hacer aquí, y es perturbar la función. Se puede comprobar que si perturbamos la función $f(x,y)=x^3-3x y^2$ ligeramente, por ejemplo a $g(x,y)=x^3-3x y^2+\epsilon x$ para $\epsilon>0$ pequeño, no encontraremos una pasada, sino dos (esto no depende de la perturbación genérica elegida). Se puede demostrar que la silla de montar del mono cuenta como dos pases en el recuento anterior. Esto se puede hacer riguroso utilizando la teoría de Conley, o la teoría de Gromol-Meyer. También se puede consultar mi doctorado tesis (esto se discute en la página 13 de la introducción).