La evaluación de una integral paramétrica

Question

Necesito un poco de ayuda para evaluar la siguiente integral.

$$\int_{0}^{\infty}{\mathrm{d}x \over x^{\alpha}\left(x + 1\right)}$$ where $\alpha \en \left(0,1\right)$

He tratado de muchas maneras (el mejor parece ser el desarrollo de Taylor de la serie), pero en realidad no tengo solución.

Algunas ideas? Gracias.

Answer 1

Creo que necesitamos un complejo análisis aquí.

Coge una rama de $1/z^a$ definido en $\mathbb{C}\setminus [0,+\infty)$ y considerar la integral $$\int_{\gamma}\frac{dz}{z^a(z+1)}$$ donde $\gamma$ es una ruta compuesta por un arco de un círculo de radio de $0<r<1$, un arco de un círculo de radio de $R>1$ y dos segmentos paralelos encima y por debajo del segmento de $[r,R]$. Entonces por el teorema de los residuos $$\int_{\gamma}\frac{dz}{z^a(z+1)}=2\pi i\mbox{Res}\left(\frac{1}{z^a(z+1) },-1\right)=2\pi i e^{-i\pi a}.$$ Ahora tomamos el límite de $R\to+\infty$$r\to 0^+$. Es fácil ver que las integrales a lo largo de los arcos de los círculos va a $0$. Por lo tanto $$\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^a(x+1)}-\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^ae^{2\pi ia}(x+1)}=2\pi i e^{-i\pi a}$$ lo que implica que $$\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^a(x+1)}=\frac{2\pi i e^{-i\pi a}}{1-e^{-2i\pi a}}=\frac{\pi}{\sin (\pi a)}.$$

Answer 2

Recordando que la función Beta puede ser escrita en la forma $$B\left(a,b\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a-1}}{\left(1+x\right)^{a+b}}dx,\,\textrm{Re}\left(a\right)>0,\,\textrm{Re}\left(b\right)>0 $$ we have that $$\begin{align} \int_{0}^{\infty}\frac{x^{-\alpha}}{1+x}dx= & \int_{0}^{\infty}\frac{x^{1-\alpha-1}}{\left(1+x\right)^{1-\alpha+\alpha}}dx \\= &B\left(1-\alpha,\alpha\right) \\ = & \Gamma\left(1-\alpha\right)\Gamma\left(\alpha\right) \\ = & \color{red}{\frac{\pi}{\sin\left(\pi\alpha\right)}} \end{align}$$ donde el último de la identidad de la siguiente manera a partir de la Gamma de la reflexión de la fórmula.

Answer 3

Hay una manera de usar el análisis complejo. Hacer un corte a lo largo del eje real positivo. A continuación, defina para $z=re^{i\phi}$, $r>0$, $\phi \in (0,2\pi)$: $$ z^a = r^a e^{i\phi a}$$

Hacer un contorno cerrado que consta de dos veces a lo largo del eje real positivo (una vez arriba, la otra abajo) $ z(t) = t+i\epsilon , 0<t\leq R$, $z(t)=t-i\epsilon, R\geq t>0$, un pequeño halfcircle $ z(t)=\epsilon e^{it}, 3\pi/2>t>\pi/2$ y un círculo grande $z(t) = R e^{it}, \ 0<t<2\pi$. (Un dibujo, obviamente, sería de gran ayuda). Muestran que el círculo aportes van a cero cuando se $\epsilon\rightarrow 0$$R\rightarrow \infty$, y que hay un residuo de $z=-1$, para obtener:

$$ 2\pi i e^{-i a\pi} = \int_0^\infty \frac{1}{x^a(1+x)} dx \left( 1- e^{-2\pi i a}\right) $$ from which you get the result $\frac{\pi}{\sin(\pi)}$, si no me lío en algún lugar.

Answer 4

$$\int\frac{dx}{x^\alpha(x+1)}=\int\frac1{x^\alpha}+\frac{e^{-\alpha\pi i}}{x+1}dx=\frac1{1-\alpha}x^{1-\alpha}+e^{-\alpha\pi i}\ln(x+1)+C$$

$$\int_0^\infty\frac{dx}{x^\alpha(x+1)}=\lim_{x\to\infty}\frac1{1-\alpha}x^{1-\alpha}-e^{-\alpha\pi i}\ln(x+1)$$

Que diverge.