grupo de Galois separable de $\mathbb{F}_q((T))$

Question

Dejemos que $K$ sea el campo $\mathbb{F}_q((T))$ , donde $q = p^r$ para algún primo $p$ .

¿Cuál es la estructura de $G_K := {\rm Gal}(K^{sep}/K)$ ?

Creo que la máxima extensión no ramificada es $\overline{\mathbb{F}_q}((T))$ y después de eso seguramente todo lo que se puede hacer es adosar prime a $p$ -raíces de $T$ . Así, creo que tenemos la secuencia exacta

$$1\rightarrow G_{\overline{\mathbb{F}_q}((T))}\rightarrow G_{\mathbb{F}_q((T))}\rightarrow {\rm Gal}(\overline{\mathbb{F}_q}((T))/\mathbb{F}_q((T)))\rightarrow 1$$

Aquí, $I_K := G_{\overline{\mathbb{F}_q}((T))}$ es el grupo de inercia, que creo que es sólo el primer a $p$ finalización de $\mathbb{Z}$ ? (en este caso no hay inercia salvaje ¿verdad?)

Además, la última pieza de la secuencia exacta es simplemente $G_{\mathbb{F}_q}\cong\widehat{\mathbb{Z}}$ . Entonces, la pieza del medio $G_{\mathbb{F}_q((T))}$ es un grupo metabélico. ¿Es abeliano? ¿Cuál es su abelianización? ¿Cuál es la imagen de $I_K$ en su abelianización? ¿Cuál es la acción de $G_{\mathbb{F}_q}$ en $I_K$ ?

Answer 1

Me he dado cuenta de que debería poner mis comentarios como respuesta. Es algo difícil, ya que la respuesta más inmediata a tu pregunta es "no", porque no es cierto que no haya ramificaciones salvajes. Así que menciono las respuestas a algunas de tus otras preguntas y notas secundarias interesantes.

Para ahorrarme un montón de paréntesis, vamos a $K=\mathbb{F}_q((T))$ .

Su análisis es erróneo porque $K$ tiene, de hecho, extensiones muy ramificadas. Por ejemplo, cualquier polinomio Eisenstein de grado $p$ para $\mathcal{O}_K$ le da un ejemplo de este tipo (por lo que, tal vez, podría tomar $f(X)=X^p-T^2X-T$ y adjuntar una raíz). De hecho, la ramificación salvaje es la única "parte difícil" de $G_K$ ya que, como ha observado correctamente

$$\text{Gal}(K^\text{tame}/K)\cong \widehat{\mathbb{Z}}^{(p)}\rtimes \widehat{\mathbb{Z}}$$

donde se puede describir explícitamente la acción como sigue. A saber,

$$K^\text{tame}=K^\text{ur}(\{T^{\frac{1}{n}}:(n,p)=1\})$$

y así se puede pensar en los elementos de $\widehat{\mathbb{Z}}^{(p)}=\text{Gal}(K^\text{tame}/K^\text{ur})$ como si fueran (sistemas) de automorfismos de la forma $T^{\frac{1}{n}}\mapsto \zeta T^{\frac{1}{n}}$ con $\zeta$ un $n^\text{th}$ raíz de la unidad. Queda entonces claro cómo

$$\widehat{\mathbb{Z}}=G_{\mathbb{F}_q}=\text{Gal}(K^\text{ur}/K)=\text{Gal}(K(\{\zeta_n:(n,p)=1\})/K)$$

actos.

Así que, para responder a tus otras preguntas.

¿Es abeliano?

No. Explícitamente, escriba un $S_3$ -extensión $K$ de $\mathbb{F}_q(T)$ totalmente ramificado en $T$ . Entonces, $K_\mathfrak{p}/\mathbb{F}_q((T))$ (donde $K_\mathfrak{p}$ es la finalización de $K$ en el primo de arriba $T$ ) es un $S_3$ -extensión de $\mathbb{F}_q((T))$ .

¿Cuál es su abelianización?

Este es el contenido de la teoría de campo de clase local para campos de función completados. A saber, que nos da un isomorfismo

$$G_K^\text{ab}\cong \widehat{K^\times}$$

donde, aquí, hay que tener cuidado de que el sombrero no denote terminación profinita sino, en cambio, terminación con respecto a la topología dada por los subgrupos de norma abeliana (subgrupos de la forma $N_{L/K}(L^\times)$ con $L/K$ fintie abelian)-estas dos nociones coinciden en el caso característico mixto, pero no en el caso equicaracterístico. En particular, se puede utilizar esto para escribir infinitas abelianas totalmente ramificadas (y por lo tanto salvajemente ramificadas) cíclicas $p$ -extensiones de $\mathbb{F}_q((T))$ .

NB: He supuesto que preguntabas por la abelianización de Hasudorff (es decir, la abelianización en la categoría de grupos topológicos de Hausdorff: $G^\text{ab}=G/\overline{[G,G]}$ ). La abelianación real es, hasta donde yo sé (que no es muy lejos), insostenible--tal cociente no tiene ningún 'significado teórico de Galois' ya que estás cotizando por un subgrupo no cerrado en general.

¿Cuál es la imagen de $I_K$ ?

Bajo la teoría del campo de clase local $I_K^\text{ab}$ se lleva a $\widehat{\mathbb{F}_p[[T]]^\times}$ con la misma advertencia sobre el significado del sombrero.

¿Cuál es la acción de $G_{\mathbb{F}_q}$ en $I_K$ ?

Ya he respondido a esto más arriba.

Bonificación:

Su análisis es correcto para estudiar $G_{k((T))}$ si $k$ es un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ . Es decir, ahí tenemos las dos igualdades:

$$k((T))^\text{tame}=k((T))^\text{sep},\qquad k((T))^\text{ur}=k((T))$$

y así, utilizando su análisis, obtenemos que

$$G_{k((T))}\cong \widehat{\mathbb{Z}}$$

con las cubiertas dadas explícitamente por $k((T))(T^{\frac{1}{n}})$ .

Esto tiene sentido porque, intuitivamente, imaginamos que $k((T))$ son las fucniones en un disco perforado muy pequeño ("formalmente pequeño") alrededor de $0$ en $\mathbb{A}^1_k$ . Así, por ejemplo, si $k=\mathbb{C}$ el grupo fundamental de tal disco perforado es $\mathbb{Z}$ y por tanto el grupo fundamental etale (que es el grupo de Galois de $k((T))$ ) es su terminación profinita: $\widehat{\mathbb{Z}}$ .

Espero que te sirva de ayuda.