La lógica: la existencia de un cierto tipo de bijective función de un conjunto infinito

Question

Deje $X$ ser un conjunto infinito. Demostrar que existe un bijective función de $f: X \rightarrow X$ con la propiedad de que para cada $x \in X$ y todos los $n > 0$: $f^n(x) \neq x$.

He probado a demostrado que esta considerando un bijective función de $g: \mathbb{Z} \times X \rightarrow X$, en cierto modo (por la composición de una función de $f: \mathbb{Z} \times X \rightarrow \mathbb{Z} \times X$), pero eso es todo lo que tengo en el momento.

Answer 1

Usted está en el camino correcto.

Considerar la permutación de $\Bbb Z\times X$ definido por $(k,x)\mapsto(k+1,x)$. Ahora tire a una permutación de $X$.

Tenga en cuenta que el axioma de elección es necesaria aquí, y en particular el hecho de que $\Bbb Z\times X\sim X$.

Answer 2

En realidad, usted tendrá algunos muy útil piezas; sólo tienes que ponerlos juntos correctamente.

• Desde $X$ es infinito, hay un bijection $f:X\to X\times\Bbb Z$. (Esto requiere alguna parte del axioma de elección).
• Encontrar un bijection $h:X\times\Bbb Z\to X\times\Bbb Z$ que tiene la propiedad deseada; utilice el hecho de que $\Bbb Z$ tiene un bijection del tipo deseado.
• Considerar el mapa de $f^{-1}\circ h\circ f$.

Nota: Algunas tonterías eliminado.