la prueba de que existen infinitos números primos congruentes a $1$ mod $3$

Question

Necesita una revisión rápida en esta prueba.

Demostrar que existen infinitos números primos congruentes con 1 mod 3.

Prueba: Supongamos por contradicción de un número finito de números primos $p≡1\pmod{3}$ dice $p_1,...,p_k$.

Definir $m=(2p_1\cdot\cdot\cdot p_k)^2+3$. Por lo $m$ es extraño, por tanto, $m$ debe ser divisible por alguna extraña prime $p$.

A continuación,$(2p_1\cdot\cdot\cdot p_k)^2\equiv -3\pmod{p}$, lo $-3\in Qp$ (residuos cuadráticos de p) y, por tanto,$p\equiv 1\pmod{3}$.

Por lo $p=p_i$ algunos $i,...,k$. A continuación,$m-(2p_1\cdot\cdot\cdotp_k)^2 =3$$p|3$.

Desde que los únicos divisores de $3$ $1$ o $3$, una contradicción ya que el $p\equiv 1\pmod{3}$.

Answer 1

Si uso el otro pedazo de la pista de que el Dr. H, dio a usted, entonces el $-3 \in Q_p$ poco mucho para usted. (La prueba es correcto para mí, sin embargo.)

Answer 2

Su prueba por contradicción es correcta.