Globo de aire caliente Relacionadas con las Tasas de

Question

Un hombre en un globo de aire caliente está ascendiendo a una tasa de $10\frac{ft}{sec}$. ¿Qué tan rápida es la distancia desde el globo en el horizonte ( la distancia a la que el hombre puede ver a ) aumentar cuando el balón se $1,000$ pies de alto. (Sugerencia: suponga que la tierra es una bola de radio $4000$ km).

Mi Intento: por Favor, dime donde está mal.

Primero construimos un triángulo tal que,

$x=$ radio de la tierra en los pies $=4000*5280$

$y=$ altura de balón en los pies $=1000$

$z=$ distancia a la que el hombre puede ver en los pies de $=\sqrt{1000^2+(4000\times5280)^2}$

Por eso, $$\frac{dx}{dt}=0, \frac{dy}{dt}=10\frac{ft}{sec}$$ Necesitamos resolver para $\frac{dz}{dt}$. $$x^2+y^2=z^2 \implies 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=2z\frac{dz}{dt} \implies \frac{dz}{dt}=\frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{z}$$ $$\frac{dz}{dt}=\frac{(4000\times5280)(0)+(1000)(10)}{\sqrt{1000^2+(4000\times5280)^2}} $$ Aquí es donde todo se siente mal. Es $\frac{dx}{dt}=0$? Puede alguien por favor me ayude a cerrar este tío, y no me deje $x$ igual al valor correcto?

Answer 1

Deje $d$ ser la distancia al horizonte, $r$ ser el radio de la tierra, $h$ ser el del globo de altura, $s$ es del globo de velocidad, y $t$ es el tiempo. El OP da $r,h,s,t$ en las diferentes unidades, pero la conversión de unidades en la siguiente está implícito.

El hombre de la línea de visión es tangente a la tierra en el horizonte. En el horizonte, el segmento de línea hasta el centro de la tierra es perpendicular a la superficie de la tierra y el hombre de la línea de visión. Así, la línea de la vista y el segmento de línea hasta el centro de la tierra en el horizonte en los dos catetos de un triángulo rectángulo. La hipotenusa es el segmento de línea desde el hombre hasta el centro de la tierra. Por lo $(h+r)^2=d^2+r^2 \Rightarrow \sqrt{2rh+h^2}=d$.

$h=t*v+h_0$ dando $$d=\sqrt{2r(t*v+h_0)+(t*v+h_0)^2} \Rightarrow d=\sqrt{v^2t^2+2v(r+h_0)t+(2r+h_0)h_0}$$

Ambos lados deben ser diferenciadas WRT a $t$, dando: $$d^\prime =\frac{v^2t+v(r+h_0)}{\sqrt{v^2t^2+2v(r+h_0)t+(2r+h_0)h_0}}$$

He calculado el horizonte en 1000 y 1010 pies y que coincide bastante bien con la fórmula anterior con $t=0$, pero recomendamos que revise todo.