El espacio de todas las estructuras complejas en $V$ es homotopy equivalente al espacio de (lineal) simpléctica formas en $V$

Question

Cómo puedo probar que el espacio de todas las estructuras complejas $I\colon V\to V$ es homotopy equivalente al espacio de todos los no-degenerada skew-simétrica $2$formas de $\omega \in \Lambda^2V$?

Skew-simetría es parece estar relacionada con la propiedad $I^2=-\operatorname{id}_V$, pero no se puede formalizar hasta que se complete la prueba.

Answer 1

Primero que todo, recordemos que un espacio vectorial admite una estructura compleja, si y sólo si es que aun dimensiones, lo que también significa que admite simpléctica formas.

La prueba descrito por Olivier Bégassat en los comentarios es correcta. En esta respuesta, me dan un poco de más detalles, pero se quedan cortos de proporcionar una prueba plena. Como Olivier argumentado, la idea es mostrar que el espacio de $\mathcal J(V)\times_\text{comp}\Omega (V)$ de los pares de $(J,\omega)$ donde $J$ $\omega$compatible (significado $\omega(-,J-)$ es un producto escalar) es un fibration$\mathcal J(V)$$\Omega(V)$, los espacios de estructuras complejas y simpléctica formas en $V$, respectivamente, con contráctiles de las fibras. Este debe producir un homotopy equivalencia $\mathcal J(V)\simeq \Omega(V)$ después de aplicar el largo de la secuencia exacta asociada a un fibration. En este post me voy a centrar en la contractibilidad de las fibras. Invito a cualquiera que esté dispuesto a completar la prueba, en cuyo caso voy a convertir esta respuesta en un wiki de la comunidad.

En primer lugar, consideramos que el mapa de $\mathcal J(V)\times_\text{comp} \Omega(V)\to \mathcal J(V)$. La fibra de más de $J\in \mathcal J(V)$ es el espacio de simpléctica formas que $J$ es compatible con, $\Omega(V,J)$. Tenga en cuenta que la fibra sobre cualquier $J\in \mathcal J(V)$ no es el conjunto vacío, ya que cualquier $J\in \mathcal J(V)$ es compatible con algunas simpléctica forma: el Uso de la inducción, no es difícil mostrar que todos los $V^{2n}$ equipada con una estructura compleja $J$ admite una base de la forma $\{x_1,J x_1,\dots, x_n,J x_n\}$. Declarar esta base para ser ortonormales, se obtiene un producto escalar $g(-,-)$ $V$ tal que $J$ es ortogonal con respecto a ella. A continuación, $\omega(-,-)=g(J-,-)$ es una forma simpléctica en $V$ $J$ es compatible con $\omega$.

Es fácil ver que cada fibra es un convexo del espacio: Si $J$ es compatible con $\omega$$\omega'$, $t\in[0,1]$ la combinación de $(1-t)\omega(-,J-)+t\omega'(-,J-)$ es un producto interior. Por lo tanto, la fibra de más de $J$ es contráctiles.

Ahora, considere la posibilidad de la fibra del mapa $\mathcal J(V)\times_\text{comp} \Omega(V)\to \Omega(V)$, es decir, el espacio de $\omega$compatible con simpléctica formas $\mathcal J(V,\omega)$. Demostrando contractibilidad de este espacio es más engorroso, y no voy a probar todos los detalles. Se muestra, por ejemplo, en la proposición 2.50 de McDuff y Salamon del libro Introducción a la Geometría Simpléctica. La idea es mostrar que $\mathcal J(V,\omega)$ es homeomórficos en el espacio de las simétrica positiva definida simpléctica matrices. Después de elegir un estándar de la base de que $\omega$ es el estándar de la forma simpléctica en $\Bbb R^{2n}$, este mapa está dado por $J\mapsto J_0J$ donde $$ J_0=\begin{pmatrix}0 & -\operatorname{id}_n \\ \operatorname{id}_n & 0 \end{pmatrix}$$ represents multiplication by $i$. The inverse map sends $P\mapsto -J_0 P$. To prove contractibility, use the fact that if $P$ is a symmetric, positive-definite and symplectic matrix, then $P^\alpha$ for any $\alpha\en \Bbb R_+$ is also a symplectic matrix, and hence this space is contractible by letting $\alpha$ run from $1$ to $0$, mapping $P$ a la matriz de identidad.

Ahora, una vez que se establece que los mapas de $\mathcal J(V)\times_\text{comp} \Omega(V)$ son de hecho fibrations de obtener el resultado que buscábamos.