No, en absoluto. Primero de todo, hay algunos ejemplos triviales: usted puede tomar el conjunto vacío, o un singleton conjunto, o de un sistema cerrado (o semi-abierta) el intervalo de $\mathbb{R}$. Para eliminar tales nimiedades, usted debe adicionales pedir su pedido conjunto a no vacío y no tienen más o menos un elemento.
Sin embargo, también hay ejemplos no triviales que no se puede descartar tan fácilmente. De hecho, todas totalmente conjunto ordenado tiene un Dedekind-terminación que puede ser construido como $\mathbb{R}$ como la realización de $\mathbb{Q}$. Así, por ejemplo, si usted comienza con cualquier denso conjunto ordenado $X$ de cardinalidad mayor que $2^{\aleph_0}$ con no más o menos un elemento, su Dedekind-terminación es Dedekind-completa denso conjunto ordenado con no más o menos un elemento que no puede ser isomorfo a $\mathbb{R}$ ya que aun no tienen la misma cardinalidad.
(Para un ejemplo claro de ese $X$, tenga en cuenta que si $Y$ es cualquier conjunto totalmente ordenado (por ejemplo, un ordinal), a continuación, $Y\times\mathbb{Q}$ con la orden lexicographic es un denso conjunto totalmente ordenado con no más o menos un elemento.)
Por cierto, usted podría preguntarse por qué no se puede construir contraejemplos para los campos de la misma manera. Después de todo, si usted tiene cualquier ordenó campo $X$, usted puede tomar su Dedekind-finalización como un conjunto ordenado. Entonces, usted puede tratar de imitar a la construcción de la estructura de campo en $\mathbb{R}$ de la de $\mathbb{Q}$ para obtener una estructura de campo en la realización de $X$.
Sin embargo, resulta que la verificación de algunos de los de campo axiomas de $\mathbb{R}$ utiliza más que sólo eso es la realización de un pedido de campo $\mathbb{Q}$--también se utiliza el hecho de que $\mathbb{Q}$ es de Arquímedes. Así, del mismo modo se puede construir un finalización de cualquiera de Arquímedes ordenó campo, pero que siempre va a darte $\mathbb{R}$.
