¿cómo decidir si el conjunto es convexo?

Question

Tengo dos variables, $x$ y $y$ y algunas desigualdades de la forma $f(x,y) \le g(x,y)$ .

Quiero saber si la intersección de todos los $(x,y)$ que satisfacen cada desigualdad es convexa. ¿Hay alguna forma genérica de hacerlo? ¿Tal vez basándose en la derivada de segundo orden (o el hessiano en este caso), de forma similar a la prueba de si una función es convexa?

Encontrar si una desigualdad define un conjunto convexo también es bueno, porque si todas definen conjuntos convexos, entonces su intersección debe definir un conjunto convexo también.

Gracias.

Answer 1

Toma $h(x,y)=f(x,y)-g(x,y)$ y si esta función $h$ es convexo entonces $h(x,y)\leq0$ es un conjunto convexo en $\mathbb{R}^2$ . Sin embargo, en general podría haber funciones $f,g$ que no son convexos, pero en los que $f(x,y)\leq g(x,y)$ sigue siendo convexa (ver también otras respuestas). Si hay un método general, entonces debería ir más allá de la convexidad de $f-g$ .

Answer 2

Tal vez, manipulando sus desigualdades, esto pueda serle útil.

Dejemos que $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ . Entonces $f$ es convexo si y sólo si el conjunto $$A:=\{(x,y):x\in[a,b],\; y\geq f(x) \}$$ es convexo en $\mathbb{R}^2$ .

Para demostrarlo, supongamos que $f$ es convexo en $[a,b]$ . Sea $(x_0,y_0),(x_1,y_1)\in A$ y $t\in [0,1]$ . Desde $[a,b]$ es convexo, $$(1-t)x_0+tx_1\in [a,b].$$ Entonces, por la convexidad de $f$ , $$(1-t)y_0+ty_1\geq (1-t)f(x_0)+tf(x_1)\geq f((1-t)x_0+tx_1).$$ Por lo tanto, $$(1-t)(x_0,y_0)+t(x_1,y_1)\in A.$$

Recíprocamente, si $(y,f(y)),(x,f(x))\in A$ , entonces para cada $t\in [0,1]$ , $$((1-t)y+tx,(1-t)f(y)+tf(x))\in A,$$ es decir: $$(1-t)f(y)+tf(x)\geq f((1-t)y+tx),$$ por lo tanto $f$ es convexo en $[a,b]$ .

Answer 3

Consideremos la siguiente desigualdad en $0\leq x< \pi/2$ : $$\sin(x + \pi+t\pi) \leq \sin(x) + 1/2$$ como $t$ varía de 0 a 1.

Entonces el conjunto se transformará de convexo a no convexo. No sé si esto ayuda, pero la traslación de la variable en una de las funciones afecta al resultado.