Conceptos de grupo izquierdo y grupo derecho.

Question

Tengo en algún lugar los conceptos de grupos de izquierda (Un conjunto no vacío con una operación binaria asociativa, una identidad izquierda y cada elemento tiene inverso izquierdo) y grupos de derecho . También he estudiado algunas propiedades básicas de las identidades e inversas ici .

Ahora tengo una pregunta.

¿Existe un grupo de izquierda que no sea de derecha?

Answer 1

Un conjunto bajo una operación $(S, \ast)$ que es o bien un grupo de izquierda o un grupo de derecho es en realidad un grupo. Demostraré esto para los grupos de la izquierda. La prueba de los grupos de derecha es análoga.

Dejemos que $s\in S$ sea arbitraria, y escriba $1$ para la identidad de la izquierda. Entonces $s$ tiene un inverso a la izquierda $t$ . Demostramos que $st=1$ . Tenemos lo siguiente. $$stst=s(ts)t=st$$ Entonces $st$ tiene un inverso a la izquierda, y multiplicando ambos lados de $stst=st$ con esto vemos que $st=1$ como se requiere. Por lo tanto, tenemos inversiones de dos lados.

Ahora basta con demostrar que $s\ast1=s$ (donde $s$ es arbitraria). Esto se deduce de lo siguiente. $$s=(st)\ast s=sts=s\ast(ts)=s\ast1$$ La prueba es completa.

Answer 2

De hecho, un grupo de izquierda es un grupo y también lo es un grupo de derecha. Los siguientes lemas, que he cortado y pegado de unos apuntes de clase, lo demuestran.

Definición. A grupo de la izquierda es un conjunto $G$ junto con una operación binaria $\circ: G \times G \rightarrow G$ que satisfaga las siguientes propiedades:

(i) Para todos los $g,h \in G$ , $g \circ h \in G$ ;

(ii) Para todos los $g,h,k \in G$ , $(g \circ h) \circ k = g \circ (h \circ k)$ ;

(iii) Existe un elemento $e \in G$ , llamado elemento de identidad izquierdo tal que..:

(a) para todos los $g \in G$ , $e \circ g = g$ y

(b) para todos los $g \in G$ existe $h \in G$ (a inverso de la izquierda de $g$ ) tal que $h \circ g = e$ .

Lema 1. Sea $G$ sea un grupo de izquierda, sea $e \in G$ sea un elemento de identidad izquierda y para $g \in G$ , dejemos que $h \in G$ sea un elemento inverso a la izquierda de $g$ . Entonces $g \circ e = g$ y $g \circ h = e$ (es decir $e$ es también un elemento inverso a la derecha y $h$ también es un inverso de la derecha de $g$ ).

Prueba. Tenemos $h \circ (g \circ e) = (h \circ g) \circ e = e \circ e = e = h \circ g.$ Ahora dejemos que $h'$ sea un inverso de $h$ . Entonces, multiplicando los lados izquierdo y derecho de esta ecuación por lados izquierdo y derecho de esta ecuación a la izquierda por $h'$ y utilizando la la asociatividad da $(h' \circ h) \circ (g \circ e) = (h' \circ h) \circ g$ . Pero $(h' \circ h) \circ (g \circ e) = e \circ (g \circ e) = g \circ e$ y $(h' \circ h) \circ g = e \circ g = g$ , por lo que obtenemos $g \circ e = g$ .

Tenemos $h \circ (g \circ h) = (h \circ g) \circ h = e \circ h = h$ y multiplicando a la izquierda por $h'$ da $(h' \circ h) \circ (g \circ h) = h' \circ h$ . Pero $(h' \circ h) \circ (g \circ h) = e \circ (g \circ h) = g \circ h$ y $(h' \circ h) = e$ Así que $g \circ h = e$ .

Lema 2. Sea $G$ sea un grupo de izquierda. Entonces $G$ tiene un elemento de identidad único, y cualquier $g \in G$ tiene una única inversa.

Prueba de ello. Sea $e$ y $f$ sean dos elementos de identidad de $G$ . Entonces, $e \circ f = f$ , pero por el lema 1, también tenemos $e \circ f = e$ Así que $e=f$ y el elemento de identidad es único.

Dejemos que $h$ y $h'$ sean dos inversos para $g$ . Entonces $h \circ g = h' \circ g = e$ , pero por el lema 1 también tenemos $g \circ h = e$ Así que $$h = e \circ h = (h' \circ g) \circ h = h' \circ (g \circ h) = h' \circ e = h'$$ y la inversa de $g$ es único.