Son independientes.

Question

Es $\{\sin x,\cos x\}$ linealmente independientes en $\mathbb{R}^n$?

Pensé que eran porque no puedo escribir $\cos x=\sin (x+\pi/2)$.

Mi profesor en el otro lado dijo que era independiente y que su prueba es como sigue:

Si $\{\sin x,\cos\}$ es independiente en $[0,2\pi]$, entonces será independiente en todos los de $\mathbb{R}.$ (no probar esto.)

$a\cos x+b \sin x=0 ,\forall \vec{x}\in[0,2\pi].$

$x=0\implies a\cdot1+b\cdot0=0 \implies a=0$.

$x=\pi /2\implies a\cdot 0+b \cdot 1 \implies b=0$.

Por lo $\{\sin x, \cos x\}$ es independiente de la $[0,2\pi],$ y por lo tanto independiente en todas partes. $QED$.

Hay algo que me falta o no entender...? ¿Por qué es este conjunto independiente, cuando de lo que puedo expresar un elemento de un conjunto, como una combinación lineal?

Answer 1

Se demostró que no hubo no trivial (es decir, con al menos uno distinto de cero como coeficiente de combinación lineal de $\sin$ $\cos$ idéntica a cero en $[0,2\pi]$. Que, por definición, significa que $\{\sin,\cos\}$ es linealmente independiente en $[0,2\pi]$.

Esto también implica que están en $\mathbb{R}$, debido, en particular, cualquier idéntica a cero combinación lineal de $\mathbb{R}$ también es cero en $[0,2\pi]$ (el recíproco también es cierto, en realidad, por $2\pi$-periodicidad).

En cuanto a tu comentario inicial sobre $\cos x = \sin(x+\frac\pi 2)$ todos los $x$, es que no es una combinación lineal. Usted no está escribiendo $\cos=\alpha\sin$ para algunos escalares $\alpha$, se escribe $\cos=\sin\circ f$ para algunos la función de $f$.

Answer 2

Me sorprende que nadie ha señalado que su pregunta

Es $\{\sin x,\cos x\}$ linealmente independientes en $\mathbb{R}^n$?

no tiene sentido.

Para empezar, $\sin x$ $\cos x$ no $\mathbb{R}^n$! Su notación es un poco ambigua: puede significar que las funciones de $\sin$ $\cos$ (en cuyo caso se viven dentro de un espacio vectorial de funciones), o usted podría significar que los números de $\sin x$ $\cos x$ para un valor fijo $x$, decir $x = 5$ (en cuyo caso se viven dentro de un espacio vectorial de los números, como $\mathbb{R}$).

Voy a asumir que usted está pensando en ellos como funciones. Así que vamos a ser claros en esto: vamos a definir $V$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial generado por los dos vectores $\mathbf{u}$$\mathbf{v}$, donde secretamente $\mathbf{u}$ es la función de $\mathbf{u}(x) = \sin x$ $\mathbf{v}$ es la función de $\mathbf{v}(x) = \cos x$.

Ahora, $V$ es un espacio vectorial de funciones - ¿cuál es el vector cero? Por supuesto, es la función cero, $\mathbf{0}$, definido por $\mathbf{0}(x) = 0$. ¿Qué independencia lineal significa? Bueno, significa que nos podemos encontrar en los números reales $a$ $b$ tal que $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Pero estas son funciones, y dos funciones de $f$ $g$ son iguales cuando están de acuerdo en todos los $x$, es decir, $f(x) = g(x)$ todos los $x$.

Es decir, queremos $a\mathbf{u}(x) + b\mathbf{v}(x) = 0$ todos los $x$ o en más de un idioma familiar, $a\sin x + b\cos x = 0$ todos los $x$. Ahora, ¿cuáles son $a$$b$?

Answer 3

Su profesor de la primera afirmación (que sólo tenemos que mostrar independencia lineal de $\sin x$$\cos x$$\lbrack0,2\pi\rbrack$) sigue de $\sin x$ $\cos x$ ambos $2\pi$ periódico; dos números reales $a$ $b$ satisfacer $a \sin\theta + b\cos\theta = 0$ todos los $\theta \in \mathbb{R}$ si y sólo si $a \sin x + b \cos x = 0$ todos los $x \in \lbrack 0, 2\pi\rbrack$. Para probar esto, nota: $\implies$ es clara. Para $\Longleftarrow$, de la nota de cada $\theta \in \mathbb{R}$ es de la forma $\theta = x + 2k\pi$ algunos $x \in \lbrack0,2\pi\rbrack$$k \in \mathbb{Z}$, y por lo $a \sin x + b \cos x = 0$ $2\pi$ periodicidad implican $a\sin\theta + b\cos\theta = a \sin(x + 2k\pi) + b\cos(x + 2k\pi) = 0$.

Para tu otra pregunta, la declaración de $\cos x = \sin(x + \pi/2)$, $\forall x \in \mathbb{R}$ es una ecuación de dependencia lineal, pero no para los vectores/funciones $f(x) = \cos x$$g(x) = \sin x$. Esto es debido a que $g(x)$ no está en su ecuación: $h(x) = g(x+\pi/2) \sin(x+\pi/2)$ es! De hecho, lo que hemos demostrado es que el $\{f(x),h(x)\} = \{\cos x, \sin(x + \pi/2)\}$ es un conjunto linealmente dependiente de.

Me pueden elaborar si usted todavía tiene preguntas.

Answer 4

Por definición, $\{\cos(x), \sin(x)\}$ es un conjunto linealmente independiente en $C(\mathbb{R})$ si para todas las $a,b\in\mathbb{R}$ que satisface la ecuación $$a\cos(x)+ b\sin(x)=0$$ para todos los $x\in\mathbb{R}$ implica $a=0$$b=0$.

Supongamos que $a\neq 0$ o $b\neq 0$ y $a\cos(x)+ b\sin(x)=0$ para todos los $x\in\mathbb{R}$. Compruebe que los valores de $a$ $b$ arbitrario pero fijo de la igualdad de mantener sólo para valores fijos de $x$ y no todos los valores de $x$$\mathbb{R}$. Y esto contradice nuestra suposición inicial.