¿Por qué se permite esto? ("Truco de Fourier"; encontrar los coeficientes en una Serie de Fourier)

Question

En mi libro de texto (Introducción a la Electrodinámica, D. Griffiths), derivamos la ecuación para una función potencial extraña. Eventualmente, llegamos a esto (para $n \in \mathbb{Z}^+$):

$$ V_0(y) = \sum_{n=0}^{\infty} C_n\sin{\frac{n\pi}{a}y} \tag{3.31}$$

Aquí es donde las cosas se complican para mí.

... ¿cómo realmente determinamos los coeficientes $C_n$, enterrados como están en esa suma infinita? El dispositivo para lograr esto es tan encantador que merece un nombre—lo llamo truco de Fourier, aunque parece que Euler había usado esencialmente la misma idea un poco antes. Así es como va: Multiplica la Ec. 3.31 por $\sin{n'\pi y/a}$ (donde $n'$ es un entero positivo), e integra de 0 a a:

$$ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} C_n \int_0^a\sin{\frac{n\pi}{a}y} \sin{\frac{n'\pi}{a}y} dy ~=~ \int_0^a V_0(y)\sin{\frac{n'\pi}{a}y} dy$$

La respuesta sale comprensiblemente como algo muy agradable y conveniente. Pero... ¿por qué se puede hacer esto? No hay una razón obvia para que eso no cambie intrínsecamente el problema (de la misma manera en que puedo decir "Multiplica ambos lados por $0$. Has reducido con éxito el problema a cero. ¡Bien hecho!)

(Mientras escribía lo anterior, sospecho que tiene algo que ver con el producto interno de una función y una base ortonormal. Las funciones infinitas $\sin$ crean una base ortonormal, y al tomar esa integral sobre todos los valores posibles efectivamente extrae los coeficientes de cada función de base. Cuando se sugiere que multipliquemos por $\sin{\frac{n'\pi}{a}y}$ e integremos, esto no está cambiando la base en absoluto, simplemente está (astutamente) extrayendo los coeficientes, que solo existen cuando $n = n'$ (porque las funciones $\sin$ son todas ortogonales). Es como tomar los coeficientes de una base consigo misma... ¿verdad?

Creo que este puede ser uno de esos casos en los que, en el proceso de hacer la pregunta, descubro la respuesta—pero todo esto es bastante nuevo para mí, y me gustaría hacer la pregunta de todos modos para confirmación y, posiblemente, una explicación más clara).

Answer 1

Podría ser útil dividir esto en pasos más pequeños.

\begin{align*} &V_0(y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left(\frac{n \pi y}{a} \right) \\ \implies & V_0(y) \sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \left(\frac{n \pi y}{a} \right)\sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \\ \implies & \int_0^a V_0(y) \sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \, dy = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \int_0^a \sin \left(\frac{n \pi y}{a} \right)\sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \, dy = \frac{a}{2} C_{n'}. \end{align*}

Ahora resolvemos para $C_{n'}$ para obtener \begin{equation*} C_{n'} = \frac{2}{a} \int_0^a V_0(y) \sin \left(\frac{n' \pi y}{a} \right) \, dy. \end{equation*}

Answer 2

Tu sospecha sobre el producto interno es totalmente correcta. Los polinomios trigonométricos $\{\sin(nx), \cos(mx)\}$ (posiblemente traducidos y escalados) se sabe que forman un sistema ortogonal con respecto al producto escalar dado por $\langle f, g\rangle:=\int fg$, y si eliges el espacio de funciones correctamente (usualmente se utiliza un espacio llamado $L^2$) y usas factores de normalización correctamente elegidos, entonces se puede mostrar que en realidad forman un sistema ortonormal completo $e_k$, lo que simplemente significa que puedes expresar cualquier función en ese espacio como $$ f = \sum_k\langle f, e_k \rangle e_k$$ (donde la convergencia debe entenderse en ese espacio con respecto a la norma derivada del producto escalar). Los coeficientes en esa suma son lo que estás buscando. Puede que conozcas ese tipo de representación en el caso dimensional finito.

Deliberadamente no especificé las constantes que hacen que el sistema ortogonal sea ortonormal, ni un intervalo como dominio de definición -- mediante traslaciones y escalados puedes hacer algo así en cualquier intervalo acotado en $\mathbb{R}$. También hay una versión compleja de esto, en cuyo caso se usaría el producto escalar $\int f\bar{g}$, y $\{e^{ikx}\}$ como sistema ortogonal.

Si quieres buscar los detalles, la mayoría de las introducciones al análisis real tendrán una sección sobre ese tema. Los libros de Rudin, por ejemplo, explican esto.