Lo que estructura la alternancia grupo preservar?

Question

Una forma común para definir un grupo como el grupo de estructura de la preservación de las transformaciones en algunas conjunto estructurado. Por ejemplo, el grupo simétrico de un conjunto $X$ conserva ninguna estructura: o, en otras palabras, sólo conserva la estructura de un conjunto. Cuando $X$ es finito, lo que la estructura de la alternancia grupo se le dijo a preservar?

Como una forma de hacer la pregunta precisa, hay una definición natural de una categoría $C$ equipado con un fiel functor $\text{FinSet}$ tal que el esqueleto de la base de groupoid de $C$ es el groupoid con objetos de $X_n$ tal que $\text{Aut}(X_n) \simeq A_n$?

Edit: he estado buscando una puramente combinatoria respuesta, pero después de reflexionar un geométricas respuesta podría ser más apropiado. Si alguien puede dar un argumento convincente de por qué un geométricas respuesta es más natural que una combinatoria de respuesta, voy a ser feliz a aceptar que la respuesta (o Omar respuesta).

Answer 1

La alternancia grupo preserva orientación, más o menos, por definición. Supongo que se puede tomar $C$ a ser la categoría de simplices junto con una orientación. I. e., los objetos de $C$ son affinely independiente de conjuntos de puntos en unos $\mathbb R^n$, junto con una orientación y los morfismos son transformaciones afines de tomar los vértices de un simplex a los vértices de la otra. Por supuesto, esto es trampa, ya que si en realidad se trata de definir la orientación que usted probablemente va a terminar con algo como "coset de la alternancia de grupo" como la definición. Por otro lado, algunas personas encuentran orientaciones de simplices a ser un concepto geométrico, por lo que este podría ser razonable para usted.

Answer 2

$A_n$ es el grupo de simetría de la cámara de las Tetas de construcción de $\mathbb{P}GL_n$. La forma de esta cámara es independiente de lo que los coeficientes de insertar en el grupo esquema de $\mathbb{P}GL_n$, sólo el número y configuración de cámaras de cambios. Si inserta el finito campos de $\mathbb{F}_p$ entonces usted consigue finito simplicial complejos como los edificios, y la menor de $p$ es el menor número de cámaras que tiene. Usted puede analizar e incluso reconstruir el grupo en términos de su acción en este edificio. El límite natural caso sería sólo tener una cámara y el grupo de simetría de esta cámara - el grupo de Weyl - es de $A_n$. Esta es la forma en Tetas primer pensamiento que hay un límite de caso para la secuencia de campos finitos - que él llamó el campo con un solo elemento.

Tal vez un poco más algebraicamente se puede pensar en términos de álgebras de Lie - como he dicho, la forma de la cámara no cambia con diferentes coeficientes. La razón es que está determinada sólo por el álgebra de Lie del grupo y por lo tanto se puede describir mediante un diagrama de Dynkin o por un sistema de raíz (ok, la geometría se arrastra de nuevo). La página de la Wikipedia acerca de Weyl grupos indica que el grupo de Weyl de la Mentira álgebra $sl_n$ es $S_n$. Si no tiene experiencia con las álgebras de Lie, pero tal vez usted puede obtener $A_n$ de la misma manera.

Si usted puede conseguir el asimiento de él, usted puede leer las Tetas' original de la cuenta, es agradable de leer (pero geométrica) ver la referencia en esta página de Wikipedia.

Edit: Aha, he encontrado un enlace ahora: Lieven Le Bruyn del F_un página está de vuelta en línea. Se puede ver allí en "papeles" y encontrar Tetas' el artículo. Y, puesto que usted va a recoger el determinante de ideas, debería echar un vistazo a Kapranov/Smirnov!

Answer 3

Aquí es una idea, aunque no me parece muy satisfactorio. Un objeto de $C$ es un conjunto finito de $X$ equipado con $\frac{|X|!}{2}$ (o $1$ si $|X| = 1$) total de pedidos, todos de los cuales son incluso con respecto a otros (en otras palabras, básicamente, un coset de $A_n$ en $S_n$). Una de morfismos entre dos objetos en $X$ es un mapa de los conjuntos de preservación de estas órdenes (en otras palabras, tomar una de las órdenes sobre $X$ y aplicar una función $f : X \a de$ Y a sus elementos. El resultado, después de tirar repite, debe ser compatible con un pedido de $Y$.)

Esto es más o menos una discretización de Omar de la respuesta. De nuevo, me gustaría hacer algo mejor que esto, o al menos ver los datos anteriormente descritos empaquetados de manera satisfactoria.

Answer 4

Que se puede hacer con algo muy ligeramente más débil que un orden: identificación de cada $n$-element set con un solo "universal" (desordenada) $n$. Estos datos canónicamente identifica dos $n$-elemento de los conjuntos y por lo tanto se le asocia una permutación para cualquier bijection de tales conjuntos. Incluso bijections puede ser definida en términos de la estructura del ciclo de las permutaciones.

Esto no es una mejora, pero que son, en efecto, pidiendo una elevación de la alternancia de grupo a un groupoid de mapas entre conjuntos finitos. Es difícil ver cómo determinar si un bijection finito de conjuntos es incluso (reducir a la noción habitual cuando los conjuntos son los mismos, y también "el transporte de estructura" a lo largo de toda la categoría) sin tener un coordinatization de los conjuntos.

Answer 5

(Esta es, en esencia, sólo un "reempaquetado" de su respuesta. Aún así, me parece que esta versión algo más satisfactorio - al menos, evita mencionar el total de pedidos.)

Para un conjunto finito de $X$ considerar la proyección de $\pi\colon X^2\S^2 X$ (donde $S^2 X=X^2/S_2$ es la simétrica de la plaza). Para una sección $s$ de la proyección que uno puede asociar un polinomio $\prod\limits_{i\neq j,\,(i,j)\in\operatorname{Im}s}(x_i-x_j)$ - y desde cualquiera de las dos artículos coinciden hasta un signo, esto le da una partición del conjunto $\operatorname{Sec}(\pi)$ en dos partes. Ahora, $A_X$ es el subgrupo de $S_X$ preservación de ambos elementos de esta partición. (I. e. la estructura es elegir uno de los dos elementos de la partición de $\operatorname{Sec}(\pi)$.)