Derivado de la covariante y la regla de Leibniz

Question

He leído la página de la Wikipedia sobre la derivada covariante, mi principal problema es que en esta parte:

http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Coordinate_description

Algunas de las fórmulas que parecen conducir a contradicciones, supongo que me estoy haciendo algunos errores.

Aquí están algunas de las fórmulas de la página.

Se define la derivada Covariante en la dirección $\mathbf e_j$, denotado $\nabla_{\mathbf e_j}$ o $\nabla_j$ por lo que:

$\nabla_{\mathbf e_j} \mathbf e _i = \nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Y definirlo de manera obedece a Leibniz regla.

A continuación, vaya a mostrar que

Donde parece que se utiliza

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i}$

Pero luego definir aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Notation

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{\ \ ki}$

1) este Es un malentendido de la mina o de un problema en la Wikipedia?

También en lugar de la definición:

$\nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

He visto en otros lugares, los símbolos de Christoffel se define así

$\partial_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

2) Es la derivada covariante de los vectores de la base de la misma como la regular derivado de una base de vectores?o son solo dos diferentes definiciones de los símbolos de Christoffel?

Otra contradicción que he visto es que se escriben de la siguiente fórmula:

en el final de la sección "Coordinar"Descripción de la

donde agregar aquí una Gamma para cada superior índice y restar una Gamma para cada menor índice de acuerdo a la norma escrita.

De acuerdo a este me parece que:

$\nabla_j \mathbf e _i = \partial_j \mathbf e _i - \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Que es también incompatible con la forma en que se define la covariante derivatove

3) ¿Es esta una contradicción o confusión de la mina?

Muchas gracias, lo siento que sea tan largo

Si se trata de un problema que puede dividir la pregunta en dos preguntas o algo

Answer 1

1) La confusión proviene de una omisión de paréntesis en estas anotaciones. En el primer caso, en efecto, tenemos $$\nabla_{\vec{e}_i}(u^j) = \frac{\partial u^j}{\partial x^i},$$ since $u^j$ is just one non-specific component of $\vec{u}$. In the second case, they mean to take the component after differentiating the tensor: $$u^j{}_{;i} = (\nabla_{\vec{e}_i} \vec{u})^j = \frac{\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{ki}.$$ I am using arrows instead of Roman type to indicate vectors in order to emphasize which things are full vectors (which may have subscripts, e.g. $\vec{e}_i$ is the $i$-ésimo vector de la base) y que las cosas son componentes.

2) No sólo debe ser un conjunto de símbolos de Christoffel. En qué contexto fue esta la definición?

También, covariante derivados reducir a derivadas parciales en escalares.

3) La confusión proviene de la utilización de $i$ $\vec{e}_i$ como una etiqueta en la que la base de vectores se utiliza, en lugar de en el componente de un vector dado es en el lugar. Creo que de $\vec{e}_i$ como un símbolo, como $\hat{x}$ o $\hat{y}$. (Esto está indicado por el Romano frente a el tipo de letra Cursiva en la pregunta, que de nuevo me cambié a una flecha para llamar la atención del vector de la naturaleza del símbolo). Utilizamos inferior subíndices de modo que no interfieran con la parte superior de los superíndices que la etiqueta de los componentes. Es decir, $\vec{e}_i$ tiene componentes $e_i^0$, $e_i^1$, etc. Como un objeto cuyas componentes son indexados con la parte superior de los índices, uno de los usos positivos de Christoffel plazo: $$(\nabla_j \vec{e}_i)^k = \partial_j e_i^k + \Gamma^k_{jl} e_i^l.$$ Note that $e_i^k = \delta_i^k$, which is a constant and therefore has vanishing partial derivative. Contracting the Christoffel symbol with the Kronecker delta in the second term leaves only $\Gamma^k_{ji}$, como se esperaba.