$\mathcal{L}^2$-norma de la transformación de Laplace

Question

Yo he estado considerando el Laplace transforme $$\mathcal{L}(f)(s)=\int{0}^{\infty}{f(t)\, e^{-st}dt} $$defined on $s\in\mathbb{R}^{+}$ as an linear operator from $\mathcal{L}^{2} (\mathbb {R} ^ {+}, \lambda) $ to $\mathcal {L} ^ {2} (\mathbb {R} ^ {+}, \lambda) $. I have managed to prove that it is well-defined, linear and bounded in the sense that$$ ||{\mathcal{L}(f)}| |{\mathcal{L}^{2}(\mathbb{R}^{+},\lambda)}\leq \sqrt{\pi}\cdot ||f||_{\mathcal{L}^{2}(\mathbb{R}^{+},\lambda)}$$ Hence I have established that the operator-norm of $\mathcal {L}$, denoted $||\mathcal {L} || ¿$ is bounded by $\sqrt{\pi}$, however my question is if the constant $\sqrt{\pi}$ es esencialmente fuerte?

¿Si es así, ¿cómo uno probar tal cosa?

He probado pluggin en $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\cdot 1_{(a,b)}$, donde $0<a pero="" sin=""></a>

Answer 1

Consulté a mi profesor de ayer y logró que me proporcione un algo elemental pero muy inteligente solución.

Considerar la secuencia de las funciones de $\left\{f_{n}\right\}_{n\geq 1}$ definido por $f_{n}(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\chi_{[\frac{1}{n},n]}(t)$ y el aviso de que $f_{n}\in \mathscr{L}^{2}(\mathbb{R}^{+})$ para cada uno de ellos fijo $n\geq 1$ $||f_{n}||_{2}^{2}=2\log(n)$

Realizando un cambio de variable en el interior de la integral tenemos que $$||\mathcal{L}(f_{n})||_{2}^{2} = \int_{0}^{\infty}\left(\int_{\frac{1}{n}}^{n}\frac{1}{\sqrt{t}}e^{-st}\, dt\right)^{2}\,ds=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s}\left(\int_{\frac{s}{n}}^{ns}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{-u}\, du \right)^{2} \, ds$$ Now here is the trick: Our aim is to force the inner integral arbitrarly close to $\sqrt{\pi}$ by choosing $n$ sufficiently large, due to the simple fact that $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{-u}\, du=\sqrt{\pi}$.

Esto puede ser hecho por cada uno de ellos fijo $s\in [0,\infty)$, sin embargo el problema es que los límites dependen en gran medida $s$, que varía con el Real positivo-como hemos integrar. La idea es restringir el dominio de $s$ en un modo sofisticado, por lo que el cálculo puede ser realizado durante el dominio restringido de $s$, mientras que el exterior integral no perder a la cantidad de masa.

Ahora vamos a $\delta\in(0,1)$ arbitrario pero fijo. Claramente para cada $n\geq 1$ $$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{s}\left(\int_{\frac{s}{n}}^{ns}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{-u}\, du \right)^{2} \, ds\geq \int_{(\frac{1}{n})^{1-\delta}}^{n^{1-\delta}}\frac{1}{s}\left(\int_{\frac{s}{n}}^{ns}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{-u}\, du \right)^{2} \, ds\geq \int_{(\frac{1}{n})^{1-\delta}}^{n^{1-\delta}}\frac{1}{s}\left(\int_{(\frac{1}{n})^{\delta}}^{n^{\delta}}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{-u}\, du \right)^{2} \, ds$$ since $(\frac{1}{n})^{1-\delta}\leq s \leq n^{1-\delta}$.

Desde los límites del interior de la integral ya no dependen de $s$, podemos, por cualquier $0<\varepsilon<\sqrt{\pi}$ , elija $n$ suficientemente grande tal que $$\int_{\frac{1}{n^{\delta}}}^{n^{\delta}}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{-u}\, du \geq \sqrt{\pi} -\varepsilon$$

Así obtenemos $$||\mathcal{L}(f_{n})||_{2}^{2} \geq \int_{(\frac{1}{n})^{1-\delta}}^{n^{1-\delta}}\frac{(\sqrt{\pi}-\varepsilon)^{2}}{s} \, ds =2\log(n)(1-\delta)(\sqrt{\pi}-\varepsilon)^{2}=||f_{n}||_{2}^{2}(1-\delta)(\sqrt{\pi}-\varepsilon)^{2}$$ Ahora desde $\delta\in(0,1)$ $\varepsilon\in (0 ,\sqrt{\pi})$ fueron arbitrarias, finalmente, a la conclusión de que $$||\mathcal{L}|| \geq \sqrt{\pi}$$ y la prueba está hecho.

Answer 2

La norma es exactamente $\sqrt\pi$. Usted puede encontrar a un prof en este papel.