Encuentre el valor mínimo de $f$ en $\{(a,b,c)\in \mathbb{R^3}\mid a+b+c=1\}$ donde $f(a,b,c)=\int_{0}^1 (a+bx+cx^2)^2dx$ .

Question

Encuentre el valor mínimo de $f$ en $\{(a,b,c)\in \mathbb{R^3}\mid a+b+c=1\}$ donde $f(a,b,c)=\int_0^1 (a+bx+cx^2)^2 \, dx$ .

Lo que hice es $$ \int_0^1 (a+bx+cx^2)^2 \, dx=a^2+a \left( b+\frac{2c}{3} \right) + \frac{b^2}{3} + \frac{bc}{2}+\frac{c^2}{5}. $$ Entonces consideramos la función $F(a,b,c)=a^2+a(b+\frac{2c}{3})+\frac{b^2}{3} + \frac{bc}{2} + \frac{c^2}{5}-\lambda(a+b+c-1)$ . Así, podemos considerar $\nabla F=0$ con $a+b+c=1$ y tratar de encontrar $a,b$ y $c$ .

Sin embargo, dado que la función y la restricción parecen estar relacionadas, tengo curiosidad por saber si hay alguna otra forma de ver el mínimo sin calcular el multiplicador de Lagrange. Gracias.

Answer 1

Sólo tienes que sustituir $a=1-b-c$ y minimizar la función de dos variables $$g(b,c)=f(1-b-c,b,c)=\int_0^1(1-b-c+bx+cx^2)^2 dx.$$

Answer 2

Considerando una cuádrica

$$x^2+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{5}+\frac{yz}{2}+\frac{2zx}{3}+xy=\lambda$$

que toca el plano $x+y+z=1$ en $(a,b,c)$ .

El plano tangente será

$$ax+\frac{by}{3}+\frac{cz}{5}+ \frac{cy+bz}{4}+\frac{az+cx}{3}+\frac{bx+ay}{2}=\lambda$$

Comparación de coeficientes:

$$a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}= \frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{4}= \frac{a}{3}+\frac{b}{4}+\frac{c}{5}=\lambda$$

da $$(a,b,c)=3\lambda(1,-8,10)$$ y $$\lambda=\frac{1}{9}$$