De forma recursiva, $\displaystyle F_{s_1,\cdots,s_n}(k)=\sum_iF_{s_1}(i)F_{s_2,\cdots,s_n}(k-i)$ $\displaystyle F_{s}(k)=1/s$ si $1\le k\le s$ $0$ lo contrario. La suma puede ser mayor de todos los $i$$\mathbb{Z}$.
Otro enfoque también se puede calcular la generación de la función de los coeficientes de $F_{s_1,\cdots,s_n}(k)$, que se define como
$$
G_{s_1,\cdots,s_n}(x)=\sum_kF_{s_1,\cdots,s_n}(k)x^k.
$$
La generación de la función de un dado con $s$ lados se $(x+x^2+\cdots+x^s)/s$,
$$
(s_1\cdots s_n)G_{s_1,\cdots,s_n}(x)=\prod_{i=1}^n(x+x^2+\cdots+x^{s_i}).
$$
Por lo tanto $(s_1\cdots s_n)F_{s_1,\cdots,s_n}(k)$ es el coeficiente de $x^k$ en
$$
\prod_{i=1}^n(x+x^2+\cdots+x^{s_i})=\frac{x^n}{(1-x)^n}\prod_{i=1}^n(1-x^{s_i}).
$$
Asimismo, la suma sobre todos los $k\le K$ $(s_1\cdots s_n)F_{s_1,\cdots,s_n}(k)$ es el coeficiente de $x^K$ en
$$
\frac1{1-x}\frac{x^n}{(1-x)^n}\prod_{i=1}^n(1-x^{s_i}),
$$
que también es el coeficiente de $x^{K-n}$ en
$$
\frac1{(1-x)^{n+1}}\prod_{i=1}^n(1-x^{s_i}).
$$
Numérico de la aplicación
Para $K=12$, $s_1=6$, $s_2=8$ y $s_3=10$, $n=3$ por lo tanto, uno está interesado en el lineal entero combinaciones de $6$, $8$ y $10$, como máximo, igual a $K-n=9$, es decir, en el coeficiente de $c_{9}$ $x^{9}$ en
$$
\frac1{(1-x)^4}(1-x^6-x^8).
$$
El coeficiente de $x^k$ $1/(1-x)^4$ $a_k=(k+3)(k+2)(k+1)/6$ por lo tanto
$$
c_9=a_9-a_3-a_1,
$$
y la posibilidad de una suma de al menos $13$ es
$$
1-\frac{c_9}{6\cdot8\cdot10}=\frac{71}{120}.
$$
Verificación de Las posibilidades de que un dado con $s$ caras produce $s+1-k$ o $k$ son iguales por lo tanto las probabilidades de que las sumas $s_1+\cdots+s_n+n-k$ $k$ son iguales. En nuestro caso, $27-k$ $k$ son equiprobables para cada una de las $k$ $1$ $26$ por lo tanto, un resultado $\le13$ y un resultado $\ge14$ son equiprobables. Resultado $\ge13$ probabilidad de $1/2$ además de la probabilidad de un resultado exactamente igual a $13$ por lo tanto, uno debe comprobar que un resultado igual a $13$ probabilidad de $11/120$, o lo que es equivalente, que no existe $44$ formas de elegir tres números enteros positivos a menos de $6$, $8$ y $10$, respectivamente, tales que su suma es $13$ (y esto es cierto!).
