Prueba de

Question

Prueba: Deje $a \in \mathbb{C}$ ser s.t. $e^{a} =0$. Entonces $0=e^a e^{-a} = e^{-a+a} = e^0 =1$, contradiciendo la existencia de $a$.

Pero ¿por qué podemos multiplicar por $e^{-a}$?? ¿Si $e^a=0$, entonces el $e^{-a}=\frac{1}{e^a}=\frac{1}{0}$ que no se puede definir?

Answer 1

Su objeción es válida. Lo haría de manera diferente: sabemos que $$ e ^ {x + y} = e ^ e x\cdot ^ y $$ % todos $x,y\in\mathbb{C}$. En particular $$ e ^ x\cdot e ^ {-x} = e ^ {x x} = e ^ 0 = 1 $$ y por lo tanto $e^x\ne0$, porque no es invertible en $0$ $\mathbb{C}$.

Answer 2

Para cada número complejo $$ z = a + bi $$

Definimos e^{z}=e^{a}(\cos(b)+i\sin(b)) $$ $$

Esta expresión está bien definida para todos $a,b\in\mathbb{R}$, por lo tanto, para todos los $z\in\mathbb{C}$.

Para una prueba diferentes puedan notar eso $$ | e ^ {z} | = | e ^ {a + bi} | = e ^ {a} $$

Supongo que sabe usted de $e^{x}\neq0$ % real todo $x$(en nuestro caso podemos fijar $x=a$, $a$ es real)

Answer 3

¿Cómo se define $e^a$ sobre los números complejos en el primer lugar?

Si esto se hace por la habitual serie de $$e^x=1+\sum_1^\infty \frac {x^n}{n!}$$ extending the definition from the real numbers, then the series is absolutely convergent for all $x $, then $e ^ {-a} $ existe y se define ya.

El % de propiedad $e^xe^{-x}=1$puede ser demostrado de la definición. Entonces todo está pensado para derivar una contradicción del Asunción $e^a=0$.

Pero cómo se enfoque el problema depende de cómo $e^x$ ha sido definido en primer lugar.

Answer 4

La función exponencial se define en todos los argumentos complejos; su dominio es todos los de $\bf C$. Como tal, el valor de $e^a$ siempre existe, para todos los valores de $a\in\bf C$, así que, por supuesto, usted puede multiplicar por él. Ahora, uno puede ver que $e^a=0\implies e^{-a}~~``="\,1/0$ es no definida, contradiciendo el hecho de que es, así que no es de este razonamiento falaz? No, en primer lugar, la obtención de una contradicción de $e^a=0$ es una especie de punto (demuestra que la igualdad de $e^a=0$ no es posible). En segundo lugar, en realidad no se puede dividir por $0$, que es un paso utilizado en la obtención de $e^{-a}=1/0$; en lugar de obtener $1=e^ae^{-a}=0\cdot e^{-a}$, y en lugar de dividir por $0$ (que no estamos autorizados a hacer) todo lo que podemos hacer es simplificar a $1=0$, una contradicción, y, por supuesto, esto también muestra que $e^{-a}$ no existe, como $1=0\cdot x$ no tiene solución.

En última instancia, la razón por la que podemos multiplicar por $e^{-a}$ es porque estamos suponiendo que existe por hipótesis, lo que podemos hacer, porque esto es exactamente el marco de la prueba por contradicción.