Supongamos que la identidad $(ab)^n = a^n b^n$ se mantiene en un grupo para algunos $n\in\mathbb{Z}$ . Para lo cual $n$ ¿implica esto necesariamente que el grupo es abeliano? Por ejemplo, cuando $n=-1$ o $n=2$ el grupo debe ser abeliano. ¿Existe algún otro $n$ o podemos construir un grupo no abeliano con esta propiedad para todo $n\neq -1, 2$ ?
Respuestas
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Dejemos que $n$ sea tal que $n \neq \pm 1$ , $n \neq 2$ (el caso $n=1$ es trivial, $-1$ y $2$ implican que el grupo es abeliano).
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Si $n$ es una potencia de $2$ (mayor que $2$ en valor absoluto), entonces dejemos que $G = \mathbb{H}$ sea el grupo de cuaterniones. Es no abeliano y tiene exponente $4$ (que divide $n$ ), por lo que para todos los $a,b$ , $(ab)^n = e = ee = a^n b^n$ .
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Si $n$ no es un poder de $2$ , entonces dejemos que $p > 2$ sea un número primo que divide a $n$ , digamos que $n = pk$ . Sea $G$ sea el grupo descrito en esta pregunta es un grupo no abeliano que tiene exponente $p$ . Entonces, para todos los $a,b \in G$ , $(ab)^n = ((ab)^p)^k = e = (a^p)^k (b^p)^k = a^n b^n$ .
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Si $n=-2$ , dejemos que $G$ sea el grupo no abeliano de exponente $3$ que usamos antes. Entonces $\forall a \in G, a^{-2} = a$ de donde se deduce la identidad. (Gracias a Mikko Korhonen por señalar el error en la primera versión de esta respuesta).
Rob
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FuzzyQ
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Tenga en cuenta que si $G$ es un grupo con exponente que divide a $n-1$ o $n$ entonces $(xy)^n = x^n y^n$ para todos $x, y \in G$ .
Supongamos que $n \neq -1, 2$ . Por encima sería suficiente demostrar que en este caso podemos encontrar un grupo no abeliano con exponente que divide $n-1$ o $n$ . Por la suposición de que $n-1$ o $n$ tiene un divisor primo impar $p$ por lo que podríamos utilizar, por ejemplo, el grupo de Heisenberg de orden $p^3$ que tiene el exponente $p$ .
