En un análisis de clase que te estoy enseñando, me dijo una definición diferente de la integral de Riemann, que yo pensaba que era equivalente a la usual. Pero ahora no estoy tan seguro.
Notación: vamos a $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ ser un almacén de la función. Una partición de $\pi$ es una secuencia finita $\pi = \{0 \le x_0 \le \dots \le x_n \le 1\}$. La malla $|\pi|$ se define como $\max_i |x_i - x_{i-1}|$. Para una partición $\pi$, definir:
la parte superior de la suma de la $U_\pi(f) = \sum_{i=1}^n \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot (x_i - x_{i-1})$
la suma menor $L_\pi(f) = \sum_{i=1}^n \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot (x_i - x_{i-1})$
el derecho de la suma de la $R_\pi(f) = \sum_{i=1}^n f(x_i) (x_i - x_{i-1})$.
Un estándar de definición de integral de Riemann (ver, por ejemplo, Bebé Rudin) va como sigue:
$f$ es Riemann integrable, con la forma de $I$, iff $\inf_\pi U_\pi(f) = \sup_\pi L_\pi(f) = I$.
La definición que me dio, que aquí voy a llamar "derecho de Riemann integrable", es este:
$f$ es derecho de Riemann integrable, con la forma de $I$, iff para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para cada partición $\pi$ $|\pi| < \delta$ tenemos $|R_\pi(f) - I| < \epsilon$. (En otras palabras, $\lim_{|\pi|\to 0} R_\pi(f) = I$.)
La idea es imitar el "extremo derecho de la regla de" definición dada en introductorios de cálculo clases.
Ahora es bien sabido que el $f$ es Riemann integrable iff es continua en casi todas partes, en cuyo caso la integral de Riemann es igual a la integral de Lebesgue.
Puedo demostrar que si $f$ es continua en casi todas partes, entonces es derecho de Riemann integrable, y el derecho de Riemann integral es igual a la integral de Lebesgue. Por lo tanto, cada Riemann integrable función es derecho de Riemann integrable, y en este caso todas las integrales de acuerdo.
Lo que yo no puedo probar es a la inversa.
Es cierto que cada "derecho de Riemann integrable" la función es Riemann integrable?
He pensado en hacer algo como lo siguiente: dada una partición de $\pi$, para cada una de las $i$ deje $t_i \in [x_{i-1}, x_i]$ ser un punto en el que el supremum $\sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$ es casi alcanzado. Luego refinar $\pi$ a una nueva partición $\pi'$ lanzando en todas las $t_i$. Me gustaría decir que $R_{\pi'}(f)$ es entonces cerca de $U_\pi(f)$. Pero si $t_i$ estaba muy cerca de la $x_{i-1}$, entonces el efecto de tirar de a $\pi'$ no puede afectar el derecho de la suma mucho.
