¿Cómo se refleja un gráfico sobre una línea arbitraria para un estudiante de precálculo?

Question

He aquí una pregunta que me hizo uno de mis alumnos de precálculo, parafraseada para mayor claridad:

Sabes que si tienes la línea $y=x$ y se quiere reflejar la gráfica de una función $f(x)$ a través de ella, puedes simplemente cambiar el $y$ y $x$ en la ecuación de la función (ya que sólo estás encontrando $f^{-1}$ si existe). ¿Y si quisieras reflejar un gráfico sobre algo como $y=2x$ ¿en su lugar? O $y=2x-3$ ? ¿Existe algún truco análogo al de "cambiar el $x$ y el $y$ " para encontrar la ecuación de esta curva reflejada?

Mi problema es que no tengo una explicación que sea particularmente buena para un estudiante de precalculo. ¿Hay alguna forma elegante de explicar a un estudiante de pre-cálculo cómo hacer esto que parezca análogo al "interruptor $x$ y $y$ ¿"truco"? Aquí están las aproximaciones a la reflexión de una curva sobre una línea que conozco, que creo que son un poco pesadas para este estudiante.

• Haz algunas cosas que parezcan de cálculo vectorial: Reflejar el gráfico de $f$ a través de $y=mx+b$ , se traduce el $y$ valores por $b$ para que la línea pase por el origen, mira la proyección de un punto de la gráfica trasladada sobre el vector normal $\langle -m,1 \rangle$ de la línea, utilizar la proyección para reflejar el gráfico, luego trasladar hacia atrás por $-b$ . Puedo calcular esto para el estudiante, pero no creo que la fórmula se vea memorable, y ciertamente no será un "truco" limpio. Ahora mismo me estoy inclinando por mostrar al alumno una bonita imagen de esto sin ningún cálculo. Probablemente escriba esto en detalle como respuesta en algún momento, a menos que alguien tenga una sugerencia mejor.
• Hablemos de matrices de reflexión una reflexión sobre una línea en el $xy$ -con un ángulo de $\theta$ con el $x$ -está dado por la multiplicación por la matriz $$\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}\,,$$ entonces el caso en el que $\theta = \pi/4$ donde reflexionas sobre la línea $y=x$ corresponde a la matriz $$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\,,$$ que sólo cambia el $x$ y el $y$ coordenadas del gráfico. Pero luego introducir las matrices como transformaciones lineales, y explicar por qué que matriz corresponde a las reflexiones, sería duro.

Answer 1

Supongo que no hay muchos métodos además de los dos que has sugerido, pero aquí tienes lo que podrías hacer que se acerca más a lo primero. Lo siguiente no requiere conocimientos de vectores o matrices.

• Dada una línea $M:y=mx+k$ y un punto $A(a,b)$ en la curva $f(x)$ la línea perpendicular a $M$ a través de $A$ es $P:(a-x)/m+b$ . El punto de intersección de $M$ y $P$ es $I([m(b+k)+a]/[m^2+1],[m^2(b+k)+ma]/[m^2+1]+k)$ .

• Supongamos que tras la reflexión de $(a,b)$ el nuevo punto es $B(c,d)$ o $B(c,(a-c)/m+b)$ . Entonces esto requiere $AI=IB$ que es una cuadrática en términos de $c$ . Resolviendo esto y eligiendo la raíz correcta se obtiene $c=g(a,b)$ y por lo tanto $d$ . Sin embargo, el álgebra puede llegar a ser bastante complicada.

Answer 2

En el nivel más general, si tenemos un gráfico descrito implícitamente como el conjunto de niveles $F(x,y)=0$ y tener alguna transformación de coordenadas invertible $\phi:(x,y)\mapsto(x',y')$ entonces la gráfica transformada tiene la ecuación implícita $(F\circ\phi^{-1})(x',y')=0$ . No debería ser muy difícil entender este principio general: básicamente se resuelve para $x$ y $y$ en las ecuaciones de transformación y sustituir en la ecuación de la curva. En el caso de una transformación afín, se trata simplemente de resolver un par de ecuaciones lineales. Una reflexión es su propia inversa, así que en ese caso especial la inversión sólo implica sustituir $x$ con $x'$ y $y$ con $y'$ en las ecuaciones de transformación.

Todavía tienes el problema de construir la reflexión a través de una línea arbitraria, pero aquí hay un punto de vista alternativo que podría funcionar sin introducir demasiados conceptos nuevos. Observa que las ecuaciones de los ejes de coordenadas están ocultas en la ecuación implícita $F(x,y)=0$ . Es decir, todo término que implique $x$ es en cierto modo hablar de la $y$ -eje ( $x=0$ ) y todo término que implique $y$ está hablando de la $x$ eje. Cuando realizas la sustitución descrita en el párrafo anterior, estás sustituyendo las ecuaciones de estos ejes por las ecuaciones de sus preimágenes. Esto se reduce a intercambiar $x$ y $y$ para una reflexión en la línea $y=x$ . Puedes ilustrar esto con parábolas (y otras cónicas): si la ecuación del eje de la parábola es la ecuación lineal $f(x,y)=0$ y la tangente en su vértice $g(x,y)=0$ la ecuación de la parábola puede ser factorizada en la forma $f(x,y)^2=k g(x,y)$ .

Así, reflejar una gráfica en una línea arbitraria puede reducirse a encontrar ecuaciones convenientemente normalizadas para las imágenes de los ejes de coordenadas. Éstas se pueden encontrar con construcciones geométricas sencillas si no quieres introducir cosas que parezcan cálculo vectorial. No se puede evitar por completo la introducción de algunos conceptos vectoriales, ya que hay que tener cuidado con la elección de los signos en las ecuaciones de los ejes transformados para preservar la dirección del eje positivo, pero parece que se puede hacer sin profundizar demasiado en eso.