Si $A$ es invertible y $r^{\text{Gelf}}(BA^{-1}) < 1$, entonces el $(A - B)$ es invertible.

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser un unital álgebra de Banach y definir $r^{\text{Gelf}}(A) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \| A^n \|^{1/n}$.

Es posible demostrar que el $r^{\text{Gelf}}(A) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \| A^n \|^{1/n} = \inf_{n \rightarrow +\infty} \| A^n \|^{1/n}$.

Necesito mostrar que si $A$ es invertible y $B$ es tal que $r^{\text{Gelf}}(BA^{-1}) < 1$, a continuación, $(A - B)$ es invertible.

Lo que hice es el siguiente: considere el elemento $C = A^{-1} + A^{-1}\sum_{n=1}^{+\infty}(BA^{-1})^n$. Esto se conoce como el de la serie de Neumann.

Si esta serie converge, se sigue a partir de un cálculo directo que $(A - B)^{-1} = C$, pero estoy luchando para demostrar que esta serie de hecho converge.

Traté de mostrar si $r^{\text{Gelf}}(BA^{-1}) < 1$, a continuación, $\| BA^{-1} \| < 1$, pero no lo he conseguido (y tal vez esto no es cierto).

Agradecería mucho si alguien me pudiera ayudar!

Answer 1

SUGERENCIA:

Considerar la Secuencia de $D_n=\sum_{k=1}^n(BA^{-1})^n$. Desde que la serie se $\sum_{k=1}^\infty\|(BA^{-1})^n\|$ converge por la raíz de la prueba, la secuencia de $\{D_n\}$ converge a algunos $D\in\mathcal A$. A continuación, el $C$ usted escribe en tu pregunta es $A^{-1}D$. Se puede terminar?

Nota al margen: no es cierto que $r^{\text{Gelf}}(A) < 1$ implica $\| A\| < 1$. Por ejemplo, considere la posibilidad de $\mathcal A=M_2(\mathbb C)$ y

$$A=\begin{pmatrix}0&\frac{3}{2}\\\frac{3}{8} &0\end{pmatrix}.$$

A continuación, $r^{\text{Gelf}}(A)=\frac{3}{4}<1 $ mientras $\|A\|=\frac{3}{2}>1$.