Es $\hat{G}$ es completa con respecto a la topología inducida de $G$ ?

Question

Para un grupo topológico $G$ y un determinado sistema fundamental de vecindades de $G$ podemos definir la terminación de G y la llamamos $\hat{G}$ . El sistema fundamental inducido de barrios de $\hat{G}$ viene dado por lo siguiente Topología inducida por la terminación de un grupo topológico .

Entonces, ¿podemos decir que $\hat{G}$ es completa, es decir, toda secuencia de Cauchy en $\hat{G}$ ¿es convergente?

Para ello suponemos que $\{z_n\}$ sea cualquier secuencia de Cauchy en $\hat{G},$ entonces dada cualquier vecindad abierta $\tilde{N}$ de $\hat{G}$ existe un número entero $k$ de manera que siempre que $m,n \geq k,$ $z_m-z_n \in \tilde{N}.$ Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $\{z_n\}$ ¿es convergente? Es decir, buscamos un elemento $s \in \hat{G}$ tal que para cualquier vecindad $\hat{P}$ de $\hat{G},$ $z_n \in s+\hat{P}$ para grandes $n$ . En general, ¿se mantendrá? Necesito ayuda. Gracias.

Answer 1

Para simplificar, ignoraré el punto muy acertado hecho en los comentarios de que definir la completitud en términos de secuencias no es suficiente en general, y asumiré que la topología en $G$ es contable en primer lugar, y por lo tanto $\hat G$ también es contable en primer lugar.

En primer lugar, hay que corregir su definición de las secuencias de Cauchy y de la convergencia. Por ejemplo, en $\Bbb R, \left\{\frac 1n\right\}$ es una sucesión de Cauchy (como cualquier sucesión convergente), y $(1,2)$ es un barrio en $\Bbb R$ pero no hay un $k \in \Bbb N$ tal que para $n, m > k, \left(\frac 1m - \frac 1n\right) \in (1,2)$ .

$\tilde N$ necesita ser un barrio de $0$ no cualquier barrio de $\hat G$ . De la misma manera, $\hat P$ es también una vecindad de $0$ (y así $s + \hat P$ es una vecindad de $s$ ).

Desde $\{z_n\}_{n\in\Bbb N} \subset \hat G$ para cada $n, z_n$ es alguna secuencia de Cauchy $\{z_{nm}\}_{m\in\Bbb N}$ en $G$ . Puede utilizar el hecho de que $\{z_n\}_{n\in\Bbb N}$ es Cauchy en $\hat G$ para demostrar que la secuencia diagonal $\{z_{nn}\}_{n\in \Bbb N}$ es Cauchy en $G$ .

Entonces $s = \{z_{nn}\}_{n\in \Bbb N}$ .