¿Por qué el álgebra de rotación racional no es una álgebra de la matriz?

Question

Deje $A_{\theta}$ ser la rotación de C$^{*}$-álgebra con la rotación $\theta$. I. e., $A_{\theta}=C^{*}(u,v)$, donde $vu=e^{2\pi i \theta}uv$. Supongamos que $\theta=p/q$, donde $p$ e $q$ son no-cero enteros positivos que son relativamente primos.

Estoy tratando de mostrar que $A_{\theta}$ no es simple.

Considerar el C$^{*}$-álgebra $M_{q}(\mathbb{C})$ y los dos matrices unitarias $$ U = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad V=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & e^{2\pi i \theta} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & e^{4\pi i \theta} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & e^{2(q-1)\pi i\theta} \end{pmatrix} $$ en $M_{q}(\mathbb{C})$. Es fácil comprobar que $VU=e^{2\pi i \theta}UV$. Se sigue por la característica universal de $A_{\theta}$ que hay un $*$-homomorphism $\pi\colon A_{\theta}\to M_{q}(\mathbb{C})$ tal que $\pi(u)=U$ e $\pi(v)=V$. Si $\pi$ no es inyectiva, entonces hemos terminado, ya $\ker\pi$ es un no-cero adecuada ideal en $A_{\theta}$. Así, podemos suponer $\pi$ es inejctive. Ahora tenga en cuenta que $\pi$ es una representación irreducible. De lo contrario, se podría descomponer en una suma directa de menor irreductible, que es imposible. Pero entonces debe ser que $\pi(A_{\theta})=M_{q}(\mathbb{C})$ desde los mínimos de las representaciones que actúan sobre un número finito de dimensiones del espacio son surjective.

Por lo tanto, podemos concluir que $A_{\theta}=C^{*}(u,v)=C^{*}(U,V)=M_{q}(\mathbb{C})$. Estoy buscando una sencilla manera de obtener una contradicción aquí.

Answer 1

Como se puede leer en el primer párrafo del Capítulo VI en Davidson, usted puede darse cuenta de unitaries $u,v$ con $uv=e^{2\pi i \theta}vu$ tomando $u,v\in B(L^2(\mathbb T))$ donde $u$ es la multiplicación por $z$, es decir, los acuerdos bilaterales de turno.

El C$^*$-álgebra generada por $u$ es $C^*(u)=C(\mathbb T)$, por lo que mediante la restricción de su $\pi$ a $C^*(u)$ obtener un $*$-homomorphism $$\pi:C(\mathbb T)\to M_n(\mathbb C).$$ If $\pi$ were injective, you would have an infinite-dimensional subalgebra of $M_n(\mathbb C)$.