Encontrar el entero positivo más pequeño divisible por 63 tales que la suma de sus dígitos es divisible por 63.

Question

TAREA: Encontrar el menor entero positivo divisible por 63 tal que la suma de sus dígitos es también divisible por 63.

MI TRABAJO: Deje que el número de se $A=\overline{x_n x_{n-1} x_{n-2} \cdots x_1 x_0}$. Desde $63|(x_n+x_{n-1}+\cdots+x_1+x_0)$, $x_n+x_{n-1}+\cdots+x_0\ge63\cdots(*)$ y desde $x_0,x_1,\cdots,x_n$ son n+1 dígitos, tenemos que $x_n+x_{n-1}+\cdots+x_0\le9+9+\cdots+9=9(n+1)$ , lo cual significa que $9(n+1)\ge63\Leftrightarrow n+1\ge7$ i.e que el número de $A$ tiene al menos siete dígitos. Si ha $7$ dígitos, todos ellos tendrían que ser $9$ a satisfacer la desigualdad $(*)$ , lo que significaría que $A=9999999$. Pero, entonces, la condición de $63|A$ no estaría satisfecho. Por lo que el número no tiene siete dígitos - que tiene por lo menos ocho dígitos.

Sin embargo, no sé a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Suponga que el número es $1$ 6 $9$s y una $8$.

Ahora $19999999\equiv 5\pmod 7$

Si restamos $10^k $ nos pondremos aus un número con un $1$ , 6$9$ e una $8$ anda diferentes equivalencia. así que tenemos que encontrar la $10^k\equiv 5\mod 7$.

$10\equiv 3$

$100\equiv 30\equiv 2$

$1000\equiv 20\equiv 6$

$10,000\equiv 60\equiv 4$

$100,000 \equiv 40\equiv 5$

Por lo $19,999,999-100,000=19,899,999\equiv 0\pmod 7$.

Y es que. Es dígitos agregar a $63$ por lo que es divisible por $9$ y es divisible por $7$. Y comienzo con $1$ y el único divisible por $7$ es el menor de esos números.

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Pensé que dejó claro por qué este es el más pequeño.

Ningún elemento con $7$ dígitos o menos existen como el OP descubierto. Para un grupo con $8$ los dígitos de la menor iba a comenzar con una $1$. Si usted tiene un $8$ número de dígitos que comienzan con $1$ y cuyos dígitos agregar a $63$ el resto de los dígitos debe ser de seis a$9$s y una $8$. Dicho número puede ser escrito como $19,999,999 - 10^k$ donde $0\le k \le 7$. Para que un número sea divisible por $63$ debemos tener $10^k \equiv 5 \pmod 7$. El SÓLO tal $k$ es $k = 5$ e $10^k =100,000$ y el número de es $19,899,999$. Así que este es el único número divisible por $63$ cuyos dígitos agregar a $63$ en el mínimo de la categoría de los tipos de números que pueden tener los números. Así que este es el más pequeño de tal número.

Answer 2

(Esta es esencialmente la misma solución que @fleablood 's; pero se plantearon dudas de si es el más pequeño.)

Dicho número tiene al menos $8$ dígitos. Desde la indicada suma de dígitos es $63$ tenemos que deducir exactamente $9$ unidades de escribir ocho nueves. Tratando de con $x_1=1$ como primer dígito, y todos los otros nueves, nos han regalado $8$ unidades, uno más para ir. Divisibilidad por $9$ es tomada automáticamente. Ahora $19\,999\,999=5$ mod $7$; por lo tanto, tenemos que encontrar una $k\in[0..6]$ con $10^k=5$ mod $7$, o estamos busto con $x_1=1$. Afortunadamente $10^5=5$ mod $7$. De ello se desprende que $19\,899\,999$ es el número más pequeño con las propiedades requeridas.

Answer 3

El menor número cuyos dígitos toda la suma de un múltiplo de $63$ es $9{,}999{,}999$. El siguiente menor es $18{,}999{,}999$, a continuación, $19{,}899{,}999$, a continuación, $19,989{,}999$, y así sucesivamente. Todos estos son claramente divisible por $9$, por lo que es suficiente para comprobar la divisibilidad por $7$. Mientras eso sucede, los dos primeros no lo son, sino $19{,}899{,}999/7=2{,}842{,}857$ (y, sólo para comprobar, $19{,}899{,}999/63=315{,}873$).

Comentario: no Es un a priori obvio que cualquiera de los números que se describe aquí va a llegar a ser divisible por $7$. Se podría decir que tuve suerte. O usted podría hacer un sistema modular de argumento para demostrar que la suerte no tuvo nada que ver con ella. Una cosa es obvia: el menor número buscado es ciertamente mayor que $777{,}777{,}777$.

Answer 4

También comprueba que el Número de 19,899,999 es el número más pequeño que es divisible entre 63 y También su suma es divisible por 63. Aquí un programa que yo he escrito en Python 3. Para averiguar esto por fuerza bruta :

for i in range(9999990, 19900000, 63):
     sum_is = sum(int(d) for d in str(i))
     if sum_is%63==0:
             print(i)

Prints : 
19899999

También esta vez, me puse de 9999990, ya que este número el último número divisible por 63 que tiene la suma de menos de 63.

Esto también puede ser utilizado para hacer lo mismo con cualquier número.

Acaba de cambiar el rango y 63 como usted desea.

Espero que esto ayude!

[RESUMEN EDITAR] Para obtener una mayor Optimización y mejor Comprensión. Añadido directa sumar en lugar de sum_digits como petición/sugerido por @Paul Evans. También añadió salto de 63 según lo Sugerido por @Kyle Kanos.